§ 91. Динамический формфактор ферми-жидкости

К ферми-жидкости неприменимы формулы для формфактора при поскольку их вывод предполагает существование (при малых со и к) лишь фононной ветви спектра элементарных возбуждений. Неприменима к ферми-жидкости также и развитая в §§ 88, 89 гидродинамическая теория флуктуаций: она требует выполнения условия (l — длина свободного пробега квазичастиц), заведомо нарушающегося в ферми-жидкости, поскольку и стремится при к бесконечности. Поэтому для вычисления формфактора ферми-жидкости надо обратиться к кинетическому уравнению.

При этом удобно исходить из формул (86,17-20), устанавливающих связь формфактора с обобщенной восприимчивостью по отношению к воздействию на жидкость некоторого поля .

В компонентах Фурье также и по координатам определение (86,18) записывается как

Мы ограничимся случаем . Тогда динамический формфактор выражается через согласно

Возмущение же плотности вычисляется с помощью кинетического уравнения, причем в нем можно (при ) пренебречь интегралом столкновений. Эти вычисления отличаются от произведенных в § 4 для нулевого звука лишь тем, что в энергии квазичастицы добавляется член

Соответственно в производной добавляется член а в левой стороне кинетического уравнения (4,8) - член

Решение кинетического уравнения ищем в виде

Это фурье-компонента возмущения импульсного распределения квазичастиц. Искомое же изменение плотности полного числа квазичастиц (совпадающей с плотностью числа истинных частиц) дается интегралом

Определение функции в (91,3) отличается от определения в (4,9) нормировкой: она выбрана здесь так, что формула (91,2) принимает вид

Для самой же функции получается уравнение

отличающееся от (4,11) своей правой частью.

Уравнение (91,5) не содержит в явном виде мнимых величин. Появление мнимой части в его решении связано поэтому лишь с обходами полюсов в возникающих в процессе решения интегралах. Правило этих обходов определяется требованием, чтобы наложенное на систему поле адиабатически включалось, начиная от для этого надо заменить его частоту .

Конкретный вид решения зависит от вида функции взаимодействия квазичастиц Продемонстрируем ход решения и его свойства на простейшем примере функции В этом случае решение уравнения (91,5) имеет вид

где С—постоянная. Последняя определяется обратной подстановкой выражения (91,6) в (91,5), дающей

где

Подынтегральное выражение зависит только от угла между и к, и после очевидной подстановки находим

где (мнимая часть интеграла отделяется по правилу (8,11)).

Подставив функцию из (91,6-8) в (91,4), получим динамический формфактор

(А. А. Абрикосов, И. М. Халатников, 1958). В силу (91,8) он отличен от нуля при , т. е. при всех

Если то в ферми-жидкости возможно распространение нулевого звука со скоростью определяемой уравнением (4,15):

При значениях s вблизи выражение (91,9) принимает вид

причем, согласно сказанному выше, надо понимать, как .

Это значит, что в появляется еще и -функ-ционный член вида или

(91.10)

Этот член представляет собой вклад в формфактор, обязанный нуль звуковой ветви энергетического спектра ферми-жидкости; он вполне аналогичен фононному вкладу (87,4) в формфактор бозе-жидкости.

Существование такого члена не связано, конечно, с предположением F = const и является общим свойством ферми-жидкости, в которой возможно распространение нулевого звука; от закона взаимодействия квазичастиц зависит лишь значение постоянного коэффициента в (91,10). Без правой части уравнение (91,5) совпадает с уравнением нулевого звука; поэтому решение неоднородного уравнения имеет полюс при

Из вида уравнения (91,5) ясно, что его решение зависит от параметров со и лишь в виде отношения Функцией этого отношения будет, следовательно, и динамический формфактор. Статический же формфактор

будет, следовательно, иметь вид

(91,11)

Это значит, что одновременная пространственная корреляционная функция флуктуаций плотности при в ферми-жидкости (как и в бозе-жидкости) следует закону .

Отметим, наконец, что динамический формфактор идеального ферми-газа может быть получен из (91,9) переходом к пределу

При этом статический формфактор

(в согласии с результатом задачи 1 в V § 117).