Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399 400 401 402 403 404 405 406 407 408 409 410 411 412 413 414 415 416 417 418 419 420 421 422 423 424 425 426 427 428 429 430 431 432 433 434 435 436 437 438 439 440 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
ГЛАВА I. НОРМАЛЬНАЯ ФЕРМИ-ЖИДКОСТЬ§ 1. Элементарные возбуждения в квантовой ферми-жидкостиПри температурах настолько низких, что де-бройлевская длина волны, отвечающая тепловому движению атомов жидкости, становится сравнимой с межатомными расстояниями, макроскопические свойства жидкости определяются квантовыми эффектами. Теория таких квантовых жидкостей представляет значительный принципиальный интерес, хотя в природе существуют лишь два объекта такого рода, являющиеся жидкостями в буквальном смысле этого слова; это — жидкие изотопы гелия Вычисление термодинамических величин макроскопического тела требует знания спектра его уровней энергии. Разумеется, в случае системы сильно взаимодействующих частиц, каковой является квантовая жидкость, речь должна идти именно об уровнях, соответствующих квантовомеханическим стационарным состояниям всей жидкости в целом, а отнюдь не состоя ни я я отдельных атомов. При вычислении статистической суммы в области достаточно низких температур должны учитываться лишь слабо возбужденные уровни энергии жидкости — уровни, расположенные не слишком высоко над основным. Следующее обстоятельство имеет фундаментальное значение, для всей теории. Всякое слабо возбужденное состояние макроскопического тела можно рассматривать в квантовой механике как совокупность отдельных элементарных возбуждений. Эти элементарные возбуждения ведут себя как некоторые квазичастицы, движущиеся в занимаемом телом объеме и обладающие определенными энергиями Существуют различные типы энергетических спектров, которыми могут, в принципе, обладать квантовые жидкости. В зависимости от типа спектра жидкость будет иметь также и совершенно различные макроскопические свойства. Мы начнем с изучения жидкости со спектром типа, который можно назвать фермиевским. Теория такой ферми-жидкости была создана Л. Д. Ландау (1956-1958 гг.); ему принадлежат результаты, излагаемые в §§ 1—41). Энергетический спектр квантовой жидкости фермиевского типа строится в известном смысле аналогично спектру идеального ферми-газа (из частиц со спином 1/2). Основное состояние последнего соответствует заполнению частицами всех состояний внутри фермиевской сферы—сферы в импульсном пространстве с радиусом
(см. V § 57). Возбужденные состояния газа возникают, когда частицы переходят из состояний заполненной сферы в какие-либо состояния с В жидкости, разумеется, не существует квантовых состояний для отдельных частиц. Однако исходный пункт для построения спектра ферми-жидкости состоит в утверждении, что классификация уровней энергии остается неизменной при постепенном «включении» взаимодействия между атомами, т. е. при переходе от газа к жидкости. В этой классификации роль частиц газа переходит к элементарным возбуждениям (квазичастицам), число которых совпадает с числом атомов и которые подчиняются статистике Ферми. Сразу же отметим, что спектром такого типа может обладать, очевидно, только жидкость из частиц с полуцелым спином — состояние системы из бозонов (частиц с целым спином) не может описываться в терминах квазичастиц, подчиняющихся статистике Ферми. В то же время следует подчеркнуть, что спектр этого типа не может быть универсальным свойством всех таких жидкостей. Тип спектра зависит также и от конкретного характера взаимодействия между атомами. Простое соображение делает это обстоятельство очевидным: если взаимодействие таково, что в его результате атомы стремятся ассоциироваться в пары, то в пределе мы получили бы молекулярную жидкость, состоящую из частиц (молекул) с целым спином, для которой рассматриваемый спектр заведомо невозможен. Каждая из квазичастиц обладает определенным импульсом
(это условие будет уточнено ниже). Упомянутый выше принцип классификации состоит в предположении, что задание этой функции однозначно определяет энергию Е жидкости и что основное состояние, соответствует функции распределения, в которой заняты все состояния внутри ферми-сферы с радиусом Важно подчеркнуть, что полная энергия, жидкости Е отнюдь не сводится к сумме энергий Для этого рассмотрим изменение Е при бесконечно малом изменении функции распределения. Оно должно, очевидно, определяться интегралом от выражения, линейного по вариации
Величина Отметим в этой связи, что элементарное возбуждение в рассматриваемом типе спектра можно в известном смысле трактовать как атом в самосогласованном поле других атомов. Эту самосогласованность нельзя, однако, понимать в обычном в квантовой механике смысле. Она имеет здесь более глубокий характер; в гамильтониане атома учитывается влияние окружающих частиц не только на потенциальную энергию, но меняется также и зависимость оператора кинетической энергии от оператора импульса. До сих пор мы отвлекались от наличия у квазичастиц спина. Так как спин является квантовомеханической величиной, то он не может рассматриваться классически, ввиду чего мы должны считать функцию распределения статистической матрицей в отношении спина. Энергия же элементарного возбуждения По существу утверждение о наличии спина у квазичастицы и выражает факт существования этого вырождения. В этом смысле можно утверждать, что спин квазичастиц в данном типе спектра всегда равен 1/2, вне зависимости от величины спина истинных частиц жидкости. Действительно, для любого отличного от 1/2 спина s члены вида Как уже было отмечено, с учетом спина квазичастиц функция распределения становится матрицей или оператором
(символ Оператором — матрицей по спиновым переменным является в общем случае также и энергия квазичастицы
Если спиновая зависимость функции распределения и энергии отсутствует, т. е.
то взятие следа в (1,2-3) сводится просто к умножению на
Легко видеть, что в статистическом равновесии функция распределения квазичастиц имеет вид распределения Ферми, причем роль энергии играет определенная согласно (1,3) величина
как и в случае газа (см. V § 55). Варьируя это выражение при дополнительных условиях постоянства полного числа частиц и полной энергии
мы получим искомое распределение
где При не зависящей от спина энергии квазичастиц формула (1,7) означает такую же связь между величинами
При температуре
Подчеркнем, что, несмотря на формальную аналогию выражения (1,8) с обычным распределением Ферми, оно не тождественно с ним: поскольку Вернемся к сделанному предположению о том, что каждой квазичастице может быть приписан определенный импульс. Условие справедливости этого предположения требует, чтобы неопределенность импульса (связанная с конечностью длины свободного пробега квазичастицы) была мала не только по сравнению с величиной самого импульса, но и по сравнению с шириной
Легко видеть, что это условие соблюдается, если распределение Таким образом, излагаемый метод справедлив только для таких возбужденных состояний жидкости, которые описываются функцией распределения квазичастиц, отличающейся от «ступеньки» лишь в узкой области вблизи поверхности Ферми. В частности, для термодинамически равновесных распределений допустимы лишь достаточно низкие температуры. Ширина (по энергии) области размытости равновесного распределения порядка Т. Квантовая же неопределенность энергии квазичастицы, связанная со столкновениями, — порядка величины Поэтому условие применимости теории
При этом, согласно сказанному выше, время
так что (1,11) задомо выполняется при Для распределений, близких к «ступенчатому» (распределение при При этом вблизи поверхности ферми-сферы, где функция
где
есть «скорость» квазичастиц на ферми-поверхности. В идеальном ферми-газе, где квазичастицы тождественны с истинными, частицами, имеем
назвав ее эффективной массой квазичастицы; эта величина положительна (см. конец § 2). В терминах введенных таким образом величин условие применимости теории можно записать как Эффективная масса определяет, в частности, энтропии 5 и теплоемкость С жидкости при низких температурах. Они даются той же формулой, что и для идеального газа (V § 58), в которой надо только заменить массу частицы
(ввиду линейной зависимости от Т величины 5 и С совпадают). Действительно, выражение (1,6) энтропии через функцию распределения одинаково для жидкости и для газа, а при вычислении этого интеграла существенна лишь область импульсов вблизи Перед тем, как продолжить развитие теории, сделаем следующее замечание. Хотя излагаемый способ введения понятия квазичастиц в ферми-жидкости в полной аналогии с частицами газа наиболее удобен для систематического построения теории, связаннная с ним физическая картина имеет тот недостаток, что в ней фигурирует ненаблюдаемая заполненная ферми-сфера квазичастиц. Этот недостаток можно было бы устранить формулировкой, в которой элементарные возбуждения появляются только при
Элементарные возбуждения в этой картине появляются или исчезают лишь парами, так что полные числа возбуждений с импульсами Отметим также, что при таком определении элементарных возбуждений их энергия непременно положительна: это есть превышение энергии возбужденного уровня над энергией нормального уровня системы. Энергия же квазичастиц, определенная согласно (1,3), может быть как положительной, так и отрицательной. Более того, для жидкости при нулевых температуре и давлении величина
|
1 |
Оглавление
|