ГЛАВА I. НОРМАЛЬНАЯ ФЕРМИ-ЖИДКОСТЬ

§ 1. Элементарные возбуждения в квантовой ферми-жидкости

При температурах настолько низких, что де-бройлевская длина волны, отвечающая тепловому движению атомов жидкости, становится сравнимой с межатомными расстояниями, макроскопические свойства жидкости определяются квантовыми эффектами. Теория таких квантовых жидкостей представляет значительный принципиальный интерес, хотя в природе существуют лишь два объекта такого рода, являющиеся жидкостями в буквальном смысле этого слова; это — жидкие изотопы гелия при температурах . Все другие вещества затвердевают значительно раньше, чем становятся существенными квантовые эффекты в них. Напомним в этой связи, что, согласно классической механике, все тела должны были бы быть твердыми при абсолютном нуле (см. V § 64); гелий же, благодаря особой слабости взаимодействия его атомов, остается жидким вплоть до температур, когда вступают в силу квантовые явления, после чего затвердевание уже перестает быть обязательным.

Вычисление термодинамических величин макроскопического тела требует знания спектра его уровней энергии. Разумеется, в случае системы сильно взаимодействующих частиц, каковой является квантовая жидкость, речь должна идти именно об уровнях, соответствующих квантовомеханическим стационарным состояниям всей жидкости в целом, а отнюдь не состоя ни я я отдельных атомов. При вычислении статистической суммы в области достаточно низких температур должны учитываться лишь слабо возбужденные уровни энергии жидкости — уровни, расположенные не слишком высоко над основным.

Следующее обстоятельство имеет фундаментальное значение, для всей теории. Всякое слабо возбужденное состояние макроскопического тела можно рассматривать в квантовой механике как совокупность отдельных элементарных возбуждений. Эти элементарные возбуждения ведут себя как некоторые квазичастицы, движущиеся в занимаемом телом объеме и обладающие определенными энергиями и импульсами . Вид зависимости (или, как говорят, закон дисперсии элементарных возбуждений) является важной характеристикой энергетического спектра тела. Подчеркнем лишний раз, что понятие элементарных возбуждений возникает как способ квантовомеханического описания коллективного движения атомов тела и квазичастицы отнюдь не могут быть отождествлены с отдельными атомами или молекулами.

Существуют различные типы энергетических спектров, которыми могут, в принципе, обладать квантовые жидкости. В зависимости от типа спектра жидкость будет иметь также и совершенно различные макроскопические свойства. Мы начнем с изучения жидкости со спектром типа, который можно назвать фермиевским. Теория такой ферми-жидкости была создана Л. Д. Ландау (1956-1958 гг.); ему принадлежат результаты, излагаемые в §§ 1—41).

Энергетический спектр квантовой жидкости фермиевского типа строится в известном смысле аналогично спектру идеального ферми-газа (из частиц со спином 1/2). Основное состояние последнего соответствует заполнению частицами всех состояний внутри фермиевской сферы—сферы в импульсном пространстве с радиусом связанным с плотностью газа (числом частиц в единице объема) формулой

(см. V § 57). Возбужденные состояния газа возникают, когда частицы переходят из состояний заполненной сферы в какие-либо состояния с

В жидкости, разумеется, не существует квантовых состояний для отдельных частиц. Однако исходный пункт для построения спектра ферми-жидкости состоит в утверждении, что классификация уровней энергии остается неизменной при постепенном «включении» взаимодействия между атомами, т. е. при переходе от газа к жидкости. В этой классификации роль частиц газа переходит к элементарным возбуждениям (квазичастицам), число которых совпадает с числом атомов и которые подчиняются статистике Ферми.

Сразу же отметим, что спектром такого типа может обладать, очевидно, только жидкость из частиц с полуцелым спином — состояние системы из бозонов (частиц с целым спином) не может описываться в терминах квазичастиц, подчиняющихся статистике Ферми. В то же время следует подчеркнуть, что спектр этого типа не может быть универсальным свойством всех таких жидкостей. Тип спектра зависит также и от конкретного характера взаимодействия между атомами.

Простое соображение делает это обстоятельство очевидным: если взаимодействие таково, что в его результате атомы стремятся ассоциироваться в пары, то в пределе мы получили бы молекулярную жидкость, состоящую из частиц (молекул) с целым спином, для которой рассматриваемый спектр заведомо невозможен.

Каждая из квазичастиц обладает определенным импульсом (мы еще вернемся к вопросу о справедливости этого утверждения). Пусть есть функция распределения квазичастиц по импульсам, нормированная условием

(это условие будет уточнено ниже). Упомянутый выше принцип классификации состоит в предположении, что задание этой функции однозначно определяет энергию Е жидкости и что основное состояние, соответствует функции распределения, в которой заняты все состояния внутри ферми-сферы с радиусом связанным с плотностью жидкости той же формулой (1,1), что и в случае идеального газа.

Важно подчеркнуть, что полная энергия, жидкости Е отнюдь не сводится к сумме энергий квазичастиц. Другими словами, Е представляет собой функционал от функции распределения, не сводящийся к интегралу (как это имеет место для идеального газа, где квазичастицы совпадают с истинными частицами и не взаимодействуют друг с другом). Поскольку первичным понятием является именно Е, то возникает вопрос об определении энергии квазичастиц с учетом их взаимодействия.

Для этого рассмотрим изменение Е при бесконечно малом изменении функции распределения. Оно должно, очевидно, определяться интегралом от выражения, линейного по вариации т. е. имеет вид

Величина есть вариационная производная от энергии Е по функции распределения. Она соответствует изменению энергии системы при добавлении одной квазичастицы с импульсом , и именно эта величина играет роль гамильтоновой функции квазичастицы в поле других частиц. Она тоже является функционалом функции распределения, т. е. вид функции зависит от распределения всех частиц в жидкости:

Отметим в этой связи, что элементарное возбуждение в рассматриваемом типе спектра можно в известном смысле трактовать как атом в самосогласованном поле других атомов.

Эту самосогласованность нельзя, однако, понимать в обычном в квантовой механике смысле. Она имеет здесь более глубокий характер; в гамильтониане атома учитывается влияние окружающих частиц не только на потенциальную энергию, но меняется также и зависимость оператора кинетической энергии от оператора импульса.

До сих пор мы отвлекались от наличия у квазичастиц спина. Так как спин является квантовомеханической величиной, то он не может рассматриваться классически, ввиду чего мы должны считать функцию распределения статистической матрицей в отношении спина. Энергия же элементарного возбуждения в общем случае является не только функцией от импульса, но и оператором по отношению к спиновым переменным, который можно выразить через оператор спина квазичастицы s. В однородной и изотропной жидкости (не находящейся в магнитном поле и не ферромагнитной) оператор s может входить в скалярную функцию тоже лишь в виде скаляров или первая степень произведения недопустима, поскольку в виду аксиальности вектора спина она является псевдоскаляром. Квадрат а для спина сводится к не зависящей от s постоянной также и скаляр Таким образом, в этом случае энергия квазичастицы вовсе не зависит от оператора спина, т. е. все уровни энергии квазичастиц двукратно вырождены.

По существу утверждение о наличии спина у квазичастицы и выражает факт существования этого вырождения. В этом смысле можно утверждать, что спин квазичастиц в данном типе спектра всегда равен 1/2, вне зависимости от величины спина истинных частиц жидкости. Действительно, для любого отличного от 1/2 спина s члены вида привели бы к расщеплению (-кратно вырожденных уровней на уровней с двукратным вырождением. Другими словами, появляются различных ветвей функции ), каждая из которых соответствует «квазичастицам со спином 1/2».

Как уже было отмечено, с учетом спина квазичастиц функция распределения становится матрицей или оператором по отношению к спиновым переменным. В явном виде этот оператор записывается как эрмитова статистическая матрица где — спиновые матричные индексы, пробегающие два значения . Диагональные матричные элементы определяют числа квазичастиц в определенных спиновых состояниях. Поэтому условие нормировки функции распределения квазичастиц надо писать теперь в виде

(символ означает взятие следа матрицы по спиновым индексам).

Оператором — матрицей по спиновым переменным является в общем случае также и энергия квазичастицы . Ее определение надо записывать так:

Если спиновая зависимость функции распределения и энергии отсутствует, т. е. сводятся к единичной матрице

то взятие следа в (1,2-3) сводится просто к умножению на

Легко видеть, что в статистическом равновесии функция распределения квазичастиц имеет вид распределения Ферми, причем роль энергии играет определенная согласно (1,3) величина . Действительно, в силу совпадения классификационных свойств уровней энергии жидкости и идеального ферми-газа энтропия S жидкости определяется таким же комбинаторным выражением

как и в случае газа (см. V § 55). Варьируя это выражение при дополнительных условиях постоянства полного числа частиц и полной энергии

мы получим искомое распределение

где — химический потенциал жидкости.

При не зависящей от спина энергии квазичастиц формула (1,7) означает такую же связь между величинами :

При температуре химический потенциал совпадает с граничной энергией на поверхности сферы Ферми:

Подчеркнем, что, несмотря на формальную аналогию выражения (1,8) с обычным распределением Ферми, оно не тождественно с ним: поскольку само есть функционал от , формула (1,8) представляет собой, строго говоря, сложное неявное определение .

Вернемся к сделанному предположению о том, что каждой квазичастице может быть приписан определенный импульс. Условие справедливости этого предположения требует, чтобы неопределенность импульса (связанная с конечностью длины свободного пробега квазичастицы) была мала не только по сравнению с величиной самого импульса, но и по сравнению с шириной «области размытости» распределения—области, в которой оно существенно отличается от «ступенчатой» функции:

Легко видеть, что это условие соблюдается, если распределение отличается от (1,10) лишь в малой области вблизи поверхности ферми-сферы. Действительно, в силу принципа Паули взаимно рассеиваться могут только квазичастицы в области размытости распределения, причем в результате рассеяния они должны переходить в свободные состояния в той же области. Поэтому вероятность столкновения пропорциональна квадрату ширины этой области. Соответственно пропорциональна и неопределенность энергии, а с нею и неопределенность импульса квазичастицы. Отсюда ясно, что при достаточно малом неопределенность импульса будет мала не только по сравнению с , но и по сравнению с

Таким образом, излагаемый метод справедлив только для таких возбужденных состояний жидкости, которые описываются функцией распределения квазичастиц, отличающейся от «ступеньки» лишь в узкой области вблизи поверхности Ферми. В частности, для термодинамически равновесных распределений допустимы лишь достаточно низкие температуры. Ширина (по энергии) области размытости равновесного распределения порядка Т. Квантовая же неопределенность энергии квазичастицы, связанная со столкновениями, — порядка величины где — время свободного пробега квазичастицы.

Поэтому условие применимости теории

При этом, согласно сказанному выше, время обратно пропорционально квадрату ширины области размытости, т. е.

так что (1,11) задомо выполняется при Для жидкости, в которой взаимодействие между частицами не является слабым, все энергетические параметры по порядку величины совпадают с граничной энергией в этом смысле условие (1,11) эквивалентно условию

Для распределений, близких к «ступенчатому» (распределение при можно, в первом приближении, заменить функционал его значением, вычисленным для Тогда становится определенной функцией величины импульса, и формула (1,7) становится обычным распределением Ферми.

При этом вблизи поверхности ферми-сферы, где функция только и имеет непосредственный физический смысл, ее можно разложить по степеням разности Имеем

где

есть «скорость» квазичастиц на ферми-поверхности. В идеальном ферми-газе, где квазичастицы тождественны с истинными, частицами, имеем так что . По аналогии можно ввести для ферми-жидкости величину

назвав ее эффективной массой квазичастицы; эта величина положительна (см. конец § 2).

В терминах введенных таким образом величин условие применимости теории можно записать как причем реальным смыслом обладают лишь квазичастицы с импульсами , для которых Подчеркнем лишний раз последнее обстоятельство и отметим, что оно придает в особенности нетривиальный характер соотношению (1,1) между и плотностью жидкости, поскольку его наглядный вывод (для ферми-газа) основан на представлении о частицах в состояниях, заполняющих всю ферми-сферу, а не только окрестность ее поверхности.

Эффективная масса определяет, в частности, энтропии 5 и теплоемкость С жидкости при низких температурах. Они даются той же формулой, что и для идеального газа (V § 58), в которой надо только заменить массу частицы эффективной массой :

(ввиду линейной зависимости от Т величины 5 и С совпадают). Действительно, выражение (1,6) энтропии через функцию распределения одинаково для жидкости и для газа, а при вычислении этого интеграла существенна лишь область импульсов вблизи в которой функции распределения квазичастиц в жидкости и частиц в газе даются одним и тем же выражением (1,8).

Перед тем, как продолжить развитие теории, сделаем следующее замечание. Хотя излагаемый способ введения понятия квазичастиц в ферми-жидкости в полной аналогии с частицами газа наиболее удобен для систематического построения теории, связаннная с ним физическая картина имеет тот недостаток, что в ней фигурирует ненаблюдаемая заполненная ферми-сфера квазичастиц. Этот недостаток можно было бы устранить формулировкой, в которой элементарные возбуждения появляются только при . В такой картине роль элементарных возбуждений играют квазичастицы вне ферми-сферы и «дырки» внутри нее; первым надо приписать (в приближении, отвечающем формуле (1,12)) энергию а вторым Статистическое распределение тех и других дается формулой распределения Ферми с равным нулю химическим потенциалом (в соответствии с тем, что число элементарных возбуждений при этом не постоянно, а само определяется температурой)

Элементарные возбуждения в этой картине появляются или исчезают лишь парами, так что полные числа возбуждений с импульсами всегда одинаковы.

Отметим также, что при таком определении элементарных возбуждений их энергия непременно положительна: это есть превышение энергии возбужденного уровня над энергией нормального уровня системы. Энергия же квазичастиц, определенная согласно (1,3), может быть как положительной, так и отрицательной.

Более того, для жидкости при нулевых температуре и давлении величина заведомо отрицательна, а потому отрицательны и близкие к значения . Это ясно из того, что при величина совпадает с положительной величиной—предельным значением отнесенной к одной частице теплотой испарения жидкости.