§ 89. Гидродинамические флуктуации в неограниченной среде

В этом параграфе мы рассмотрим гидродинамические флуктуации в неограниченной неподвижной жидкости. Эта задача может быть, конечно, решена изложенным в предыдущем параграфе методом. Мы, однако, сделаем это здесь другим способом, проиллюстрировав тем самым альтернативный метод решения задач о гидродинамических флуктуациях.

Этот метод использует общую теорию квазистационарных флуктуаций в ее более ранней стадии, до введения случайных сил. Напомним относящиеся сюда общие формулы (см. V § 122).

Пусть

— макроскопические «уравнения движения» для набора величин описывающих неравновесное состояние системы (в равновесии все ); эти уравнения справедливы, если величины велики по сравнению с их средними флуктуациями (но в то же время настолько малы, чтобы была допустима линеаризация уравнений движения). Тогда можно утверждать, что таким же уравнениям удовлетворяют (при t > 0) корреляционные функции флуктуаций

Начальным условием к этим уравнениям служат равенства

где - одновременная корреляционная функция, предполагаемая известной. В область t < 0 корреляционные функции продолжаются по правилу

причем верхний знак относится к случаю, когда обе величины четны (или обе нечетны) по отношению к обращению времени, а нижний знак — к случаю, когда одна из величин четна, а другая нечетна. Решение уравнения (89,2) с условием (89,3) осуществляется путем одностороннего преобразования Фурье: умножив уравнение на и проинтегрировав по i в пределах от 0 до (причем интеграл в левой стороне уравнения преобразуется по частям), получим систему уравнений

для величин (функций частоты)

Обычные же фурье-компоненты корреляционной функции выражаются через величины (89,6) согласно

где знаки ± отвечают знакам в (89,4).

Переходя к поставленной задаче о флуктуациях в неподвижной жидкости, прежде всего линеаризуем гидродинамические уравнения (88,6-8) с и q из (88,9-10) (без последних членов). Положив и отбрасывая нелинейные члены, получим

(89,8)

(после линеаризации индекс 0 у постоянных величин отбрасываем). В уравнениях (89,8-10) будет удобным сразу разделить скорость на потенциальную («продольную») и вихревую («поперечную») части согласно определению

(89,11)

В (89,8) остается только продольная скорость:

(89,12)

а (89,9), распадается на два уравнения

(89,13)

Уравнение для поперечной скорости независимо от остальных уравнений. Соответственно этому, и для корреляционной функции ее флуктуаций имеем одно уравнение

(89,15)

(где — кинематическая вязкость). Подвергнув его одностороннему преобразованию Фурье, получим

(где справа стоит одновременная корреляционная функция), или, переходя к фурье-компонентам по координатам:

Одновременная корреляционная функция флуктуаций скорости дается формулой (88,5); перейдя в ней к фурье-компонентам и отделив поперечную часть, имеем

(89,16)

Подставив это в предыдущую формулу, окончательно получим

(89,17)

Для остальных переменных имеем систему связанных друг с другом уравнений (89,10), (89,12), (89,14). Эта система, однако, упрощается в предельных случаях больших или малых частот. Дело в том, что возмущения продольной скорости и давления распространяются в жидкости со скоростью звука и, а возмущения энтропии согласно уравнению теплопроводности. Последний механизм требует времени для распространения возмущения на расстояние - температуропроводность среды). Поэтому для частот, удовлетворяющих (при заданном значении волнового вектора) условию

(89,18)

можно считать, что флуктуируют только и Р при постоянной энтропии. Напротив, при

(89,19)

происходят изобарические флуктуации энтропии.

Рассмотрим сначала первую, высокочастотную область (89,18) и определим, например, флуктуации давления.

Уравнение (89,14), переписанное для корреляционных функций, имеет вид

а начальным условием к нему служит равенство нулю одновременной корреляции

Произведя одностороннее преобразование Фурье по времени и полное преобразование по координатам, получим отсюда

(89,20)

Далее, в уравнении (89,12) пишем

а выражаем с помощью уравнения (89,10), написанного в виде

(членом с в правой стороне пренебрегаем по сравнению с в силу условия ). Это приводит к уравнению

Соответствующее уравнение для корреляционных функций снова получается отсюда заменой и соответственно на а начальным условием к нему служит (88,3). После фурье-преобразований это уравнение дает

(89,21)

Из двух уравнений (89,20-21) находим после некоторых преобразований

(89,22)

где

— коэффициент поглощения звука в среде (см. VI § 77), а его часть, связанная с теплопроводностью. Выпишем окончательный ответ для области частот вблизи значений , где флуктуации особенно велики:

Эта формула справедлива при

В низкочастотной области (89,19) достаточно рассмотреть, как уже было указано, флуктуации энтропии, пренебрегая при этом флуктуациями давления. Это значит, что в уравнении (89,10) можно положить

(теплоемкость относится к единице массы). Поэтому для искомой корреляционной функции имеем уравнение того же типа, что и (89,15), а начальное условие к нему дается выражением (88,4). В результате найдем

(89,25)