§ 83. Асимптотическое поведение корреляционной функции в жидкости

Длинноволновые электромагнитные флуктуации приводят. также к некоторым специфическим свойствам корреляционной функции флуктуаций плотности в однородной жидкости.

Напомним (см. V § 116), что корреляционная функция определяется через среднее значение от произведения флуктуаций плотности числа частиц t в Двух точках пространства согласно

Корреляционная функция связаша со взаимодействием между частицами, и ее асимптотическое поведение на больших расстояниях определяется дальнодействующей, ван-дер-ваальсовой частью этого взаимодействия.

Поэтому , как и ван-дер-ваальсовы силы, убывает с расстоянием по степенному закону (J. Enderby, Т. Gaskell, N. Н. March, 1965).

Это отражается, разумеется, и на свойствах фурье-компонент корреляционной функции Если бы между частицами жидкости действовали только силы с радиусом действия порядка атомных размеров а, то функция убывала бы с расстоянием по экспоненциальному закону с показателем . В терминах фурье-компонент это значит, что была бы регулярной функцией от разложимой при по четным степеням Дальнодействующие же силы приводят к появлению в члена (обозначим его ) существенно меняющегося уже в области (а не ), где — характерные длины волн в спектре жидкости . В области параметр может быть как малым, так и большим; функция в этой области имеет сингулярный характер.

Для вычисления корреляционной функции воспользуемся ее связью со второй вариационной производной от свободной энергии тела по его плотности. По определению, эта производная есть функция , фигурирующая в выражении

для изменения свободной энергии, связанного с флуктуациями плотности (при заданной температуре). Фурье-компонента этой функции связана с искомой функцией соотношением

(см. V (116,14)). Подчеркнем, что эта формула предполагает классичность флуктуаций, для чего требуется где — частота колебаний с волновым вектором k. Полагая со (где u — скорость звука в жидкости), получим условие

что соответствует расстояниям .

«Регулярная» часть функции , связанная с короткодействующими силами, разложима по степеням k; ограничиваясь (при ) первым членом разложения и обозначив его через b, пишем

где — интересующая нас «сингулярная» часть функции. Ввиду относительной слабости ван-дер-ваальсовых сил , и поэтому результат подстановки (83,5) в (83,3) можно представить в виде

Поскольку связь оказывается линейной, то функция на больших расстояниях есть просто

Первому же (не зависящему от k) члену в (83,6) отвечает координатная функция вида , связанная с близкодействующими силами (при пренебрежении их радиусом действия). Для определения исходим из формулы (80,11) для вариации свободной энергии. Написав в ней

мы видим, что выражение

представляет собой первую вариационную производную свободной энергии по плотности. Для второго дифференцирования надо, в свою очередь, проварьировать это выражение, т. е; найти

Сама функция удовлетворяет уравнению (79,8):

(83,10)

а его варьирование дает уравнение для вариации функции:

(83,11)

Решение уравнения (83,11) можно написать сразу, заметив, что в силу (83,10) «невозмущенная» функция является гриновской функцией этого уравнения; поэтому

(здесь использовано также, что ) Наконец, подставив сюда (83,8) и затем все вместе в (83,9), получим вторую вариационную производную

Эта формула вместе с (83,7) и дает искомое общее выражение корреляционной функции при (М. П. Кемоклидзе, Л. П. Питаевский, 1970).

Предположенное уже ранее условие (83,4) для волновых векторов эквивалентно условию для расстояний. Если одновременно с этим условием ограничить область значений также и сверху:

(83,13)

то в сумме будут существенны большие значения s, и суммирование по дискретным «частотам» можно заменить интегрированием по

Функция получается из (77,6) заменой . Произведя дифференцирование и возведя в квадрат, получим

Подстановка (83,15) в (83,14) приводит к довольно сложному выражению, которое, однако, упрощается в двух предельных случаях.

В случае «малых» расстояний (, ср. § 81) в интеграле существенна область при этом так что в (83,15) можно заменить экспоненциальный множитель единицей, а в скобках сохранить лишь последний член. Тогда найдем

Фурье-образ этой функции

(83,17)

В обратном случае «больших» расстояний в интеграле существенна область Поэтому можно заменить ее электростатическим значением и вынести из-под знака интеграла в (83,14). После этого интегрирование производится элементарно (причем все члены в (83,15) дают вклад одинакового порядка величины). В результате получается

Фурье-образ этой функции

(83,19)