§ 17. Вершинная функция при малых передачах импульса

Важную роль в теории ферми-жидкости играет вершинная функция при близких значениях пар переменных (мы увидим, в частности, что она тесно связана с функцией взаимодействия квазичастиц). Имея в виду связь

положим и введем упрощенное обозначение

мы будем рассматривать эту функцию при малых значениях терминах процессов рассеяния квазичастиц это значит, что рассматриваются столкновения с малой передачей 4-импульса, близкие к «рассеянию вперед».

При функция Г имеет, как мы увидим, особенность; нас будет интересовать именно та часть функции, в которой заключена эта особенность. Происхождение последней легко понять из рассмотрения скелетной диаграммы

заключающей в себе ту совокупность диаграмм двухчастичной функции Грина, которые могут быть рассечены между парами концов на две части, соединенные между собой двумя сплошными линиями. Двум соединительным жирным линиям отвечают точные одночастичные гриновские функции , причем по 4-импульсу К в диаграмме производится интегрирование. При аргументы этих двух функций сближаются, а потому сближаются и их полюсы. Сближающиеся полюсы могут «зажать» между собой путь интегрирования (см. ниже), что и является источником возникновения особенности в функции Г.

Для вычисления точной функции Г надо просуммировать весь ряд теории возмущений. Поскольку наша цель состоит в выделении части, имеющей особенность при надо прежде всего отделить вклад от всех диаграмм, которые не могут быть рассечены по парам сплошных линий с близкими (отличающимися на К) значениями 4-импульса. Эту часть функции Г, не имеющую особенности при обозначим посредством Г; в ней можно положить так что Г будет функцией лишь переменных Что же касается «опасных» диаграмм, то их можно классифицировать по числу содержащихся в них пар линий с близкими аргументами. Таким образом, полная вершинная часть Г изобразится следующим бесконечным «лестничным» рядом диаграмм:

Здесь светлому кружку отвечает искомое , а заштрихованные кружки изображают Внешние линии на этих диаграммах не входят в определение Г и служат лишь для указания числа и значений входящих и выходящих 4-импульсов.

Все внутренние линии на диаграммах (-жирные, т. е. им соответствуют точные G-функции. Подчеркнем в этой связи, что возможность представления Г в виде этих скелетных диаграмм (а тем самым и все дальнейшие следствия из них) отнюдь не предполагает парности взаимодействия между частицами, поскольку пунктирные линии здесь в явном виде отсутствуют; от характера взаимодействия в действительности зависит лишь (не интересующая нас здесь) внутренняя структура блоков, изображенных кружками.

Задача о суммировании ряда (17,3) сводится к решению интегрального уравнения, для получения которого «умножим» весь ряд еще на одно Г, т. е. заменим его рядом

Сравнение с исходным рядом (17,3) приводит к равенству

Это диаграммное равенство, будучи записано в аналитическом виде, и дает искомое интегральное уравнение

Согласно сказанному выше, в функциях Г положено использованы введенные выше сокращенные обозначения , а также положено

Для исследования этого уравнения рассмотрим прежде всего стоящее в его ядре произведение Как уже было отмечено, при малых полюсы обоих множителей близки друг к другу. Вблизи этих полюсов G-функции представляются полюсными членами (10,2). Обозначив компоненты 4 векторов К и Q, согласно

пишем в этой области

где -бесконечно малые добавки, знак которых (вблизи полюсов) определяется согласно

Знаки и определяют расположение полюсов — в верхней или нижней полуплоскостях комплексной переменной . Особенность в ядре интегрального уравнения (а с ним и в его решении) возникает в результате зажатия контура интегрирования по (вещественная ось) между полюсами, для чего последние должны находиться по разные стороны этого контура, т. е. в разных полуплоскостях.

Предположим сначала, что где — угол между q и k. Тогда и имеют различные знаки ), если что ввиду малости k эквивалентно условиям

При дальнейшем интегрировании по в (17,5) путь интегрирования можно замкнуть бесконечно удаленной полуокружностью (все равно — сверху или снизу), и тогда интеграл определится вычетом подынтегрального выражения в соответствующем полюсе. При этом ввиду узости интервала (17,9) (при малом k) в множителях Г и под знаком интеграла можно будет положить и соответственно для положения полюсов (при малых k, ): .

Другими словами, в смысле своей роли в ядре интегрального уравнения (17,5) произведение полюсных множителей (17,7) эквивалентно -функциям

с коэффициентом А, определенным как интеграл

Когда q лежит вне интервала (17,9), оба полюса лежат в одной полуплоскости комплексного и, замкнув путь интегрирования по через другую полуплоскость, убедимся, что интеграл обращается в нуль. В области же (17,9), замкнув путь через одну из полуплоскостей и вычисляя интеграл по вычету в расположенном в этой полуплоскости полюсе, найдем

(учтено, что в области Поскольку в силу , то можно положить после чего (с учетом пределов )

Легко показать тем же способом, что такое же выражение для А (но с другим знаком у ) получается и при (когда интегрирование должно производиться по области ). Таким образом, в ядре уравнения (17,5) имеем

(17,10)

где написано вместо а функция не содержит (при малых К) -функционной части, и потому в ней можно положить

Подставив (17,10) в (17,5), получим основное интегральное уравнение в виде

В последнем члене подставлено (где -элемент телесного угла в направлении 1) и интегрированием по устранены -функции. В этом члене в функциях аргумент Q берется на ферми-поверхности: .

Обратим внимание на специфический характер множителя в ядре уравнения (17,11): его предел при зависит от предела, к которому стремится при этом отношение Таким же характером будет обладать, следовательно, и решение уравнения: предел функции при зависит от способа стремления к нулю . Обозначим посредством предел

(мы увидим в § 18, что именно с этой величиной связана функция взаимодействия квазичастиц). При таком способе перехода к пределу ядро последнего интегрального члена в (17,11) обращается в нуль, так что удовлетворяет уравнению

Отметим, что ввиду (15,8)

(17,14)

Из двух уравнений (17,11) и (17,13) можно исключить Г. Результат исключения:

(17,15)

Действительно, если формально записать (17,13) в виде , то (17,11) запишется как

Подставив сюда и применив к обеим сторонам равенства оператор получим (17,15).

Введем теперь функцию согласно

Именно эта функция (умноженная на ) представляет собой амплитуду рассеяния вперед (т. е. перехода ), отвечающую реальным физическим процессам, происходящим с квазичастицами на ферми-поверхности: столкновения, оставляющие квазичастицы на этой поверхности, сопровождаются изменением импульса без изменения энергии, и потому переход к пределу нулевой передачи импульса должен производиться при строго равной нулю передаче энергии Введенная же выше функция отвечает нефизическому предельному случаю «рассеяния» с малой передачей энергии при строго равной нулю передаче импульса

Положив в (17,15) , перейдя к пределу и умножив обе стороны равенства на , получим

(17,17)

Таким образом, существует общее соотношение, связывающее обе предельные формы амплитуды рассеяния вперед.

Свойства антисимметрии (15,8) для Г дают некоторую информацию о поведении Г и при Положив в этом равенстве получим

(17,18)

(суммирования по а здесь нет!). Переход к или Г в этом равенстве надо производить с осторожностью, так как в сначала положено а в -сначала

Пусть одновременно малы К и Тогда помимо диаграмм (17,2) будут опасными также и диаграммы

При функция будет зависеть, следовательно, от двух «особых» аргументов:

и (17,18) означает обращение этой функции в нуль при . Будем рассматривать значения Г на ферми-поверхности; тогда так что и . Поэтому в таком пределе равенство (17,18) имеет место, только если и Другими словами, на ферми-поверхности оно справедливо для Г:

(17,19)