§ 31. Гриновские функции бозе-жидкости

Математический аппарат функций Грина бозе-жидкости строится во многом подобно аналогичному аппарату для ферми-систем. Не повторяя заново всех рассуждений, мы приведем здесь сначала основные определения и формулы, подчеркнув при этом отличия, связанные как с другой статистикой частиц, так и с наличием конденсата. Как и в предыдущих параграфах этой главы, частицы жидкости предполагаются бесспиновыми.

При определении гриновской функции бозе-жидкости следует выделить из гейзенберговских -операторов конденсатную часть, представив их в виде (26,4). Функция Грина определяется по надконденсатной части операторов согласно

где снова скобки означают усреднение по основному состоянию системы, а Т — знак хронологического произведения. При этом, однако, в отличие от случая фермионов, перестановка -операторов для приведения их в нужное расположение не должна сопровождаться изменением знака произведения, так что (в отличие от (7,10))

Такое же среднее значение, как (31,1), но с полными операторами вместо надконденсатных дало бы

где - плотность числа частиц в конденсате.

В однородной жидкости функция G зависит, конечно, только от разности .

Надконденсатная матрица плотности выражается через функцию Грина согласно

(обратим внимание на другой общий знак по сравнению с (7,19)). В частности, при отсюда получается полная плотность числа надконденсатных частиц

Переход к импульсному представлению происходит по тем же формулам (7,21-22). Нормировка функции выражается формулой

Для функции Грина бозе-системы в импульсном представлении можно получить разложение, подобное тому, которое было получено в § 8 для ферми-систем. Полностью аналогичные вычисления приводят сначала к формуле

где

( — шредингеровский надконденсатный оператор). Для приведения этого разложения к окончательному виду замечаем, что энергии возбуждения в бозе-системе определяются как (всегда положительные) разности между энергиями возбужденных состояний системы и энергией ее основного состояния при неизменном числе частиц N.

Учитывая, что , находим поэтому, что

Но добавление или удаление одной частицы меняет свойства системы лишь в членах относительного порядка для макроскопической системы эти члены пренебрежимо малы, так что энергии возбуждения следует считать совпадающими друг с другом и с Таким образом, окончательно находим

Тем же способом, как было получено (8,14), отсюда легко найти, что для бозе-систем мнимая часть функции Грина всегда отрицательна:

Асимптотический вид функции Грина при остается тем же, что и в случае ферми-систем:

(31,10)

(ср. (8,15)). При его выводе следует учесть правило коммутации

в котором стоит теперь коммутатор операторов и вместо антикоммутатора.

Далее, такие же рассуждения, что и в § 8, приводят к основному результату о том, что полюсы функции Грина определяют спектр элементарных возбуждений

(31,11)

причем следует брать только положительные корни этого уравнения; в отличие от (8,16), вычитать из здесь не требуется. Вблизи своего полюса функция Грина имеет вид

(31,12)

знак вычета в полюсе совпадает со знаком , как это следует из положительности коэффициента в (31,8) (величина же вычета не ограничена никакими условиями, подобными, например, условию (10,4) в случае ферми-систем).

Используя выражение (31,12), легко убедиться (подобно тому, как это было сделано в § 8), что неравенство (31,9) автоматически обеспечивает положительность коэффициента затухания квазичастиц, т. е. нужный знак когда значения 8 сдвигаются в комплексную область.

Возможность перехода надконденсатных частиц в конденсат и обратно приводит к тому, что в математическом аппарате функций Грина для бозе-систем наряду с функцией (31,1) автоматически появляются (как мы увидим в § 33) также и функции

(31,14)

где матричный элемент берется для переходов с изменением полного числа частиц в системе, а символ означает основное состояние системы с N частицами (последнее равенство в (31,14) справедливо с точностью до величин примечание на стр. 130). Определенные таким образом функции F и называют аномальными функциями Грина. Покажем, что в однородной и неподвижной жидкости функции F и совпадают друг с другом.

Как и функция G, функции F и для однородной жидкости зависят только от разности . При этом, поскольку перестановка меняет лишь порядок расположения операторов в произведении, который все равно устанавливается операцией хронологизации, то

(31,15)

Отсюда следует, конечно, что и в импульсном представлении - четная функция своего аргумента

(31,16)

Далее, определенное соотношение между F и возникает как результат следующего свойства гейзенберговского оператора неподвижной жидкости:

(31,17)

Полагая, скажем, имеем поэтому

или . С учетом (31,15) отсюда следует искомое равенство

(31,18)

Выразив функцию через матричные элементы операторов, можно получить для разложение, аналогичное разложению (31,8), и тем самым выяснить вопрос о полюсах этой функции; мы не будем останавливаться здесь на этом. Укажем лишь, что полюсы функции совпадают с полюсами функции .

В заключение этого параграфа вычислим функцию Грина идеального бозе-газа . Заметим прежде всего, что поскольку в основном состоянии такого газа все частицы находятся в конденсате, то надконденсатный оператор уничтожения частиц при воздействии на волновую функцию основного состояния обращает ее в нуль.

Поэтому функция отлична от нуля только при (когда, согласно (31,2), первым действует оператор рождения

Хотя для идеального газа химический потенциал мы не будем полагать здесь этого, рассматривая как не определенный заранее свободный параметр; это необходимо для дальнейшего применения функции в диаграммной технике для произвольной жидкости, где играет роль именно такого параметра. Соответственно этому, оператор будем писать в виде

(31,19)

(отличающимся от (26,1) членом в показателях экспонент). При подставке этого выражения в определение , согласно (31,2), замечаем, что при усреднении (т. е. взятии диагонального матричного элемента) могут дать отличный от нуля результат лишь произведения арар и но поскольку в основном состоянии газа числа заполнения всех состояний частиц с равны нулю, то

Перейдя затем обычным образом от суммирования по к интегрированию, получим

Отсюда для функции Грина в импульсном представлении имеем

Интегрирование осуществляется с помощью формулы

(в подынтегральное выражение вводится множитель , после чего переходим к пределу . Окончательно

(31,22)

Что касается функции F, то для идеального газа , как это очевидно из определения (31,13), в котором оба оператора уничтожают надконденсатные частицы.

Поэтому и в импульсном представлении

(31,23)

Этим равенством выражается тот факт, что надконденсатные частицы появляются (при только в результате взаимодействия.