Главная > Теоретическая физика. Т. IX. Теория конденсированного состояния
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 31. Гриновские функции бозе-жидкости

Математический аппарат функций Грина бозе-жидкости строится во многом подобно аналогичному аппарату для ферми-систем. Не повторяя заново всех рассуждений, мы приведем здесь сначала основные определения и формулы, подчеркнув при этом отличия, связанные как с другой статистикой частиц, так и с наличием конденсата. Как и в предыдущих параграфах этой главы, частицы жидкости предполагаются бесспиновыми.

При определении гриновской функции бозе-жидкости следует выделить из гейзенберговских -операторов конденсатную часть, представив их в виде (26,4). Функция Грина определяется по надконденсатной части операторов согласно

где снова скобки означают усреднение по основному состоянию системы, а Т — знак хронологического произведения. При этом, однако, в отличие от случая фермионов, перестановка -операторов для приведения их в нужное расположение не должна сопровождаться изменением знака произведения, так что (в отличие от (7,10))

Такое же среднее значение, как (31,1), но с полными операторами вместо надконденсатных дало бы

где - плотность числа частиц в конденсате.

В однородной жидкости функция G зависит, конечно, только от разности .

Надконденсатная матрица плотности выражается через функцию Грина согласно

(обратим внимание на другой общий знак по сравнению с (7,19)). В частности, при отсюда получается полная плотность числа надконденсатных частиц

Переход к импульсному представлению происходит по тем же формулам (7,21-22). Нормировка функции выражается формулой

Для функции Грина бозе-системы в импульсном представлении можно получить разложение, подобное тому, которое было получено в § 8 для ферми-систем. Полностью аналогичные вычисления приводят сначала к формуле

где

( — шредингеровский надконденсатный оператор). Для приведения этого разложения к окончательному виду замечаем, что энергии возбуждения в бозе-системе определяются как (всегда положительные) разности между энергиями возбужденных состояний системы и энергией ее основного состояния при неизменном числе частиц N.

Учитывая, что , находим поэтому, что

Но добавление или удаление одной частицы меняет свойства системы лишь в членах относительного порядка для макроскопической системы эти члены пренебрежимо малы, так что энергии возбуждения следует считать совпадающими друг с другом и с Таким образом, окончательно находим

Тем же способом, как было получено (8,14), отсюда легко найти, что для бозе-систем мнимая часть функции Грина всегда отрицательна:

Асимптотический вид функции Грина при остается тем же, что и в случае ферми-систем:

(31,10)

(ср. (8,15)). При его выводе следует учесть правило коммутации

в котором стоит теперь коммутатор операторов и вместо антикоммутатора.

Далее, такие же рассуждения, что и в § 8, приводят к основному результату о том, что полюсы функции Грина определяют спектр элементарных возбуждений

(31,11)

причем следует брать только положительные корни этого уравнения; в отличие от (8,16), вычитать из здесь не требуется. Вблизи своего полюса функция Грина имеет вид

(31,12)

знак вычета в полюсе совпадает со знаком , как это следует из положительности коэффициента в (31,8) (величина же вычета не ограничена никакими условиями, подобными, например, условию (10,4) в случае ферми-систем).

Используя выражение (31,12), легко убедиться (подобно тому, как это было сделано в § 8), что неравенство (31,9) автоматически обеспечивает положительность коэффициента затухания квазичастиц, т. е. нужный знак когда значения 8 сдвигаются в комплексную область.

Возможность перехода надконденсатных частиц в конденсат и обратно приводит к тому, что в математическом аппарате функций Грина для бозе-систем наряду с функцией (31,1) автоматически появляются (как мы увидим в § 33) также и функции

(31,14)

где матричный элемент берется для переходов с изменением полного числа частиц в системе, а символ означает основное состояние системы с N частицами (последнее равенство в (31,14) справедливо с точностью до величин примечание на стр. 130). Определенные таким образом функции F и называют аномальными функциями Грина. Покажем, что в однородной и неподвижной жидкости функции F и совпадают друг с другом.

Как и функция G, функции F и для однородной жидкости зависят только от разности . При этом, поскольку перестановка меняет лишь порядок расположения операторов в произведении, который все равно устанавливается операцией хронологизации, то

(31,15)

Отсюда следует, конечно, что и в импульсном представлении - четная функция своего аргумента

(31,16)

Далее, определенное соотношение между F и возникает как результат следующего свойства гейзенберговского оператора неподвижной жидкости:

(31,17)

Полагая, скажем, имеем поэтому

или . С учетом (31,15) отсюда следует искомое равенство

(31,18)

Выразив функцию через матричные элементы операторов, можно получить для разложение, аналогичное разложению (31,8), и тем самым выяснить вопрос о полюсах этой функции; мы не будем останавливаться здесь на этом. Укажем лишь, что полюсы функции совпадают с полюсами функции .

В заключение этого параграфа вычислим функцию Грина идеального бозе-газа . Заметим прежде всего, что поскольку в основном состоянии такого газа все частицы находятся в конденсате, то надконденсатный оператор уничтожения частиц при воздействии на волновую функцию основного состояния обращает ее в нуль.

Поэтому функция отлична от нуля только при (когда, согласно (31,2), первым действует оператор рождения

Хотя для идеального газа химический потенциал мы не будем полагать здесь этого, рассматривая как не определенный заранее свободный параметр; это необходимо для дальнейшего применения функции в диаграммной технике для произвольной жидкости, где играет роль именно такого параметра. Соответственно этому, оператор будем писать в виде

(31,19)

(отличающимся от (26,1) членом в показателях экспонент). При подставке этого выражения в определение , согласно (31,2), замечаем, что при усреднении (т. е. взятии диагонального матричного элемента) могут дать отличный от нуля результат лишь произведения арар и но поскольку в основном состоянии газа числа заполнения всех состояний частиц с равны нулю, то

Перейдя затем обычным образом от суммирования по к интегрированию, получим

Отсюда для функции Грина в импульсном представлении имеем

Интегрирование осуществляется с помощью формулы

(в подынтегральное выражение вводится множитель , после чего переходим к пределу . Окончательно

(31,22)

Что касается функции F, то для идеального газа , как это очевидно из определения (31,13), в котором оба оператора уничтожают надконденсатные частицы.

Поэтому и в импульсном представлении

(31,23)

Этим равенством выражается тот факт, что надконденсатные частицы появляются (при только в результате взаимодействия.

1
Оглавление
email@scask.ru