§ 70. Магноны в ферромагнетике. Спектр

Применим полученные в предыдущем параграфе уравнения к распространению волн, в которых плотность магнитного момента совершает малые колебания, прецессируя относительно своего равновесного значения Мы будем рассматривать однодоменный образец, во всем объеме которого постоянно, и ограничимся случаем волн с длиной, много меньшей размеров, образца. Тогда среду можно рассматривать как неограниченную.

Рассмотрим сначала вопрос с учетом только обменных взаимодействий, т. е. на основе уравнения (69,11). Положим где - малая величина, и линеаризуем уравнение, отбросив члены второго порядка по поскольку абсолютная величина то в этом приближении Получим

(здесь и ниже полагаем . Для , зависящего от координат и времени как находим

где , — единичный вектор в направлении волнового вектора к. Раскрыв это уравнение в компонентах, имеем

(ось z - в направлении ). Отсюда находим закон дисперсии спиновых волн

Мы видим, в соответствии со сказанным в начале предыдущего параграфа, что в обменном приближении частота стремится к нулю при . Вектор в спиновой волне вращается в плоскости ху с постоянной угловой скоростью , оставаясь постоянным по абсолютной величине.

В квантовой картине формула (70,3) определяет энергетический спектр магнонов

В формализме вторичного квантования макроскопические величины, описывающие ферромагнетик, заменяются операторами, выраженными через операторы уничтожения и рождения магнонов. Покажем, как это должно быть сделано для магнонов (70,4).

Приведем в соответствие с классической величиной М векторный оператор М, компоненты которого удовлетворяют определенным правилам коммутации. Пусть - оператор суммарного спина атомов в физически бесконечно малом элементе объема в точке . Операторы относящиеся к различным элементам , коммутативны. Компоненты же одного и того же оператора удовлетворяют обычным правилам коммутации момента:

или (и аналогично для остальных коммутаторов). В пределе эти правила записываются для любых в едином виде

Умножив теперь это равенство на и заметив, что оператор намагниченности , получим

В применении к спиновым волнам, в которых М испытывает малые колебания вокруг оси , в первом приближении по малым величинам ту можно заменить в правой стороне (70,5) опёратор числом тогда

Отсюда видно, что величины играют (с точностью до постоянных множителей) в данном случае роль канонически сопряженных «обобщенных координат и импульсов» — подобно тому, как играли такую же роль при квантовании звуковых волн в жидкости (§ 24).

Подчеркнем, однако, существенное отличие между обоими случаями. Правило коммутации (24,7) для фононных опёраторов является точным, не связанным с малостью колебаний (т. е. с малостью чисел заполнения фононных состояний). Правило же (70,6) является приближенным, справедливым лишь в первом приближении по малой величине .

Исходя из правила коммутации (70,6) и соотношения между операторами и , отвечающего линейным уравнениям (70,1), можно найти выражения этих операторов через операторы уничтожения и рождения магнонов, подобно тому как это было сделано в § 24 для фононов (см. задачу 4 к § 71).

Вернемся к изучению спектра магнонов и обратимся к учету влияния релятивистских эффектов на этот спектр. Теперь уже необходимо учитывать и магнитное поле Н, возникающее при колебаниях М. Оно будет того же порядка малости, что и ; обозначим его здесь как .

Уравнения Максвелла (69,10) дают

Отсюда видно, что поле h направлено вдоль волнового вектора и равно

Подставив (70,7) в последние два члена подынтегрального выражения в (69,5), получим

(здесь опущен член , который ввиду потенциальности поля h при интегрировании по всему объему преобразуется в интеграл по поверхности и обращается в нуль); эту часть энергии анизотропии в спиновой волне иногда называют магнитостатической.

Пусть ферромагнетик одноосен и относится к типу «легкая ось», так что направлено вдоль оси симметрии кристалла (ось ): . Имея в виду дальнейшие применения, допустим также существование внешнего поля , параллельного тому же направлению v; при этом образец надо представлять себе как цилиндр с осью вдоль v. Тогда поле внутри тела . Линеаризованное уравнение движения (которое мы выписываем уже умноженным на )

Для одноосного кристалла где - угол между к и

Подставив сюда h из (70,7), расписываем уравнение в компонентах (причем ось х удобно выбрать в плоскости, проходящей через направления ). Из условия совместности получающихся двух уравнений для и ту находим закон дисперсии

(70,10)

Отметим, что благодаря наличию члена разложение по степеням компонент к не имеет простого степенного характера; это связано с дальнодействующим характером магнитных взаимодействий.

Выражение вида (70,10), выведенное здесь для одноосного ферромагнетика (типа «легкая ось»), справедливо и для кубических кристаллов. Это следует из того, что изменение энергии анизотропии при малых отклонениях вектора М от своего равновесного направления имеет в обоих случаях одинаковый вид. Так, для кубического кристалла с изменение при отклонении М от направления вдоль ребра куба зависит только от угла между М и и равно Сравнив это с аналогичным выражением для одноосного кристалла, мы видим, что для перехода к случаю кубического кристалла с достаточно заменить в (70,10) . Аналогичным образом, легко убедиться, что для перехода к случаю кубического кристалла с (направление вдоль пространственной диагонали куба) надо заменить . Отметим также, что в кубическом кристалле величина сводится к постоянной. Для одноосного же ферромагнетика типа «легкая плоскость» ситуация иная: изменение при отклонении М от зависит как от полярного угла, так и от азимута направления М относительно поэтому этот случай требует особого рассмотрения — см. задачу.

Напомним, что результат (70,10) относится лишь к начальной части спектра, в которой квазиимпульсы и допустимо макроскопическое рассмотрение. Со стороны больших, но удовлетворяющих этому условию значений выражение (70,10) сводится к

(70,11)

Первый член здесь совпадает с чисто обменным выражением (70,4). Внешнее же поле добавляет к энергии магнона просто член . В этом приближении, следовательно, магнон обладает проекцией момента на , равной .

Возбуждение в теле каждого магнона уменьшает полный магнитный момент тела на

В обратном случае, при выражение (70,10) стремится к отличной от нуля величине, равной (при

(70,12)

Таким образом, учет магнитной анизотропии приводит к появлению энергетической щели в спектре магнонов. Это естественно, поскольку при наличии анизотропии даже поворот магнитного момента как целого (т. е. при ) связан с конечной энергией. Мы видим, что при малых к релятивистские эффекты, несмотря на их малость, приводят к относительно большим поправкам к спектру.

Представление о магнонах как об элементарных возбуждениях относится к слабо возбужденным состояниям тела, а тем самым — к низким температурам. Поэтому в относящихся к магнонам формулах значения всех материальных констант (в том числе и намагниченности М) должны браться при .

Вернемся к сделанному в § 69 предположению о слабости диссипации. В квантовой картине диссипация означает конечность времени жизни магнонов, обусловленную их взаимодействием друг с другом и с другими квазичастицами.

Если сначала говорить о взаимодействии магнонов друг с другом, то прежде всего надо отметить, что в обменном приближении число магнонов не меняется (каждый магнон дает в одинаковый вклад , а обменное взаимодействие сохраняет ). Поэтому в таком приближении возможны лишь процессы рассеяния. Их вероятность, однако, уменьшается с понижением температуры — уже просто из-за уменьшения числа рассеивателей, - так что обменное затухание во всяком случае стремится к нулю при . Мы увидим ниже (§ 72), что состояние с одним магноном в обменном приближении есть действительно строго стационарное состояние системы.

При затухание магнонов обусловлено только процессами их распада. Такие процессы возможны лишь за счет релятивистских взаимодействий» и уже поэтому их вероятность мала.

Кроме того, при малых к вероятность распада всегда уменьшается за счет малости статистических весов (фазовых объемов) конечных состояний процесса.

Затухание магнонов вызывается также и их взаимодействием с фононами (роль оператора возмущения играет здесь зависящая от деформации кристалла часть гамильтониана обменного взаимодействия). При возможен процесс рождения фонона магноном; для этого, однако, квазиимпульс магнона должен быть достаточно велик скорость магнона к должна быть больше скорости звука (ср. примечание на стр. 321). Вероятность процесса мала также и за счет малости статистического веса конечного состояния.

Наконец, в ферромагнитном металле всегда возможно (за счет обменного взаимодействия с электронами проводимости) возбуждение магноном электрона из-под ферми-поверхности. И здесь вероятность процесса при малых к мала за счет малости статистического веса конечных состояний.