§ 51. Связь тока с магнитным полем в сверхпроводнике

В § 44 были получены формулы, определяющие связь между током и магнитным полем в сверхпроводнике в предельном (лон-доновском) случае медленного изменения всех величин вдоль объема тела; при этом поле предполагалось слабым малым по сравнению с его критическим значением. Теперь мы рассмотрим этот вопрос в общем случае произвольно меняющегося в пространстве статического поля, по-прежнему предполагая его слабым. Слова «произвольно меняющееся» означают здесь, что поле может существенно меняться на расстояниях (но, конечно, по-прежнему мало меняется на расстояниях порядка величины постоянной решетки; поэтому неоднородность среды металла — на атомных расстояниях несущественна):

В общем случае связь между током и магнитным полем в пространственно-неограниченной среде изображается интегральной формулой вида

где ядро зависит только от свойств самой среды. Линейность зависимости (51,1) отвечает предположению о слабости поля.

Как известно, плотность тока может рассматриваться как вариационная производная от энергии системы по векторному потенциалу: изменение функции Гамильтона системы при варьировании А есть

(см. III (115,1)). Поэтому ядро в (51,1) является второй вариационной производной, а симметрия относительно порядка двукратного дифференцирования (по ) означает, что

Разложив в интегралы Фурье, запишем связь (51,1) для фурье-компонент:

причем в силу (51,2) .

Некоторые важные свойства функции следуют уже из требований калибровочной инвариантности.

Ток j не должен меняться при калибровочном преобразовании или, для фурье-компонент:

Это значит, что тензор должен быть ортогонален волновому вектору

В частности, в кристалле кубической симметрии тензорная зависимость сводится к членам вида из (51,4) следует тогда, что

где - скалярная функция.

Для дальнейшего выберем калибровку потенциала, в которой Для фурье-компонент это значит, что . Поэтому связь (51,3) между током и потенциалом сведется к равенству

т. е. будет определяться лишь скалярной функцией .

Лондоновскому случаю отвечает предельное выражение при . Это выражение легко найти, применив к обоим сторонам уравнения (44,8)

оперицию и учтя равенство . Заметив, что в силу уравнения непрерывности также и , получим

В неограниченном пространстве для везде конечных функций отсюда следует, что и

т. е. значение тока в каждой точке определяется лишь значением потенциала в той же точке. Такое же равенство имеет место между фурье-компонентами и , и сравнение с (51,6) показывает, что дается не зависящим от к выражением

Дальнейшее содержание этого параграфа состоит в вычислении для модели БКШ, под которой подразумевается, как уже говорилось, изотропный вырожденный ферми-газ со слабым притяжением между частицами (электронами). В то же время предполагается, что эти частицы взаимодействуют с магнитным полем своим зарядом е.

В § 42 были написаны уравнения (42,5) для температурных гриновских функций ферми-газа в отсутствие внешнего поля. Введение магнитного поля осуществляется заменой оператора в гамильтониане Такое же изменение возникает, следовательно, в уравнении (7,8) для и соответственно замена в аналогичном уравнении для то же самое относится, очевидно, и к уравнениям для и Спиновый же член отвечающий прямому взаимодействию магнитного момента электрона с полем, мал и можно пренебречь в гамильтониане и уравнениях. При воздействии оператора V на функции дифференцированию подвергаются соответственно операторы . Поэтому и в уравнениях (42,5) введение магнитного поля осуществляется теми же заменами

Наличие внешнего поля нарушает пространственную однородность системы, в результате чего зависимость гриновских функций от аргументов уже не сводится к зависимости от от аргументов же функции по-прежнему зависят только через разность Мы запишем уравнения сразу для фурье-компонент по :

В случае слабого поля, который мы только и будем здесь рассматривать, эти уравнения могут быть линеаризованы; полагаем

(51,10)

(где первые члены — значения функций в отсутствие поля, а вторые — малые поправки, линейные по полю) и сохраняем в уравнениях лишь члены первого порядка малости по А.

При этом надо иметь в виду, что наличие поля меняет также и конденсатную волновую функцию S, не сводящуюся в этом случае к постоянной. Это усложнение, однако, отсутствует при выбранной нами калибровке векторного потенциала, в которой

(51,11)

Действительно, поправка первого порядка (к постоянному значению ) в скалярной функции могла бы быть лишь пропорциональной и при условии (51,11) обращается в нуль. Поэтому с требуемой точностью можно положить в линеаризованных уравнениях где Д—щель в энергетическом спектре газа в отсутствие поля (вещественная величина).

В результате линеаризованные уравнения (51,9) принимают

(51,12)

В виду линейности этих уравнений по А достаточно решить их для одной из фурье-компонент поля, т. е.

(51,13)

При таком зависимость функций от суммы можно сразу отделить, положив

(51,14)

Так, первое из уравнений (51,12) принимает после этого вид

и аналогично для второго уравнения. Произведем теперь фурье-преобразование функций g и по .

Окончательно приходим к следующей системе двух алгебраических уравнений:

(51,15)

После простых преобразований с использованием выражений (42,7-8) для функций решение этих уравнений приводится к виду

(51,16)

где (функция же нам ниже не понадобится).

Перейдем к вычислению тока. Для этого исходим из известного выражения оператора плотности тока в представлении вторичного квантования

Для перехода к мацубаровскому представлению этого оператора достаточно заменить гейзенберговские на мацубаровские Вспомнив определение гриновской функции (37,2), найдем, что плотность тока (диагональный матричный элемент оператора j, усредненный по распределению Гиббса) может быть записана в виде

(51,17)

где — плотность числа частиц (множитель 2 возникает от ).

При подстановке в член с выпадает: для однородной и изотропной системы функция четна, и ее производная при обращается в нуль.

Перейдя также к разложению Фурье по получим

а после подстановки и из (51,13) и (51,14) —

При подстановке сюда из (51,16) удобно сразу учесть поперечность векторов и произвести усреднение по направлениям в плоскости, перпендикулярной направлению к, по формуле

где — угол между . В результате находим следующее выражение для функции определяющей связь между и А(k):

(51,18)

Написанные в таком виде стоящие здесь интегралы и сумма формально расходятся. Хотя эти расходимости в действительности фиктивны, но при вычислении требуется осторожность: до устранения расходимости результат может зависеть даже от порядка, в котором производятся интегрирование и суммирование.

Эту трудность можно обойти, если учесть заранее очевидное обстоятельство, что при должно быть в нормальном металле сверхпроводящий ток вообще отсутствует. Поэтому мы не изменим ответа, если вычтем из (51,18) такое же выражение с

Это выражение уже хорошо сходится и интегрирование и суммирование в нем можно производить в любом порядке.

Отметим прежде всего, что интересующие нас значения к малы в том смысле, что это неравенство выражает собой просто тот факт, что характерные расстояния, на которых в сверхпроводнике меняются поле и ток, велики по сравнению с межчастичными расстояниями (т. е. по сравнению с ).

Произведем в (51,19) сначала интегрирование по Этот интеграл сосредоточен в основном в узкой области импульсов вблизи ферми-поверхности — в области . В этой области

множитель в подынтегральном выражении можно заменить на а интегрирование по — интегрированием по После этого интеграл по от второго члена в фигурных скобках в (51,19) обращается в нуль: путь интегрирования в нем может быть теперь замкнут бесконечно удаленной полуокружностью в плоскости комплексного и обращение интеграла в нуль есть следствие того, что оба полюса подынтегрального выражения находятся в одной и той же полуплоскости (верхней или нижней в зависимости от знака Интегрирование по в первом члене в (51,19) производится элементарно, после чего остается лишь интеграл по переменной Введя также плотность согласно равенству , получим окончательный результат в виде (в обычных единицах)

(51,20)

В предельном случае малых значений , где - длина когерентности) можно показать, что выражение (51,20) сводится к не зависящему от k лондоновскому выражению (51,8); мы не будем останавливаться здесь на этом.

В обратном предельном случае, когда в интеграле (51,20) существенна область . Поэтому можно пренебречь по сравнению с 1 в числителе подынтегрального выражения, после чего (ввиду быстрой сходимости) распространить интегрирование от до . В результате найдем

Произведя суммирование с помощью (42,10), представим эту формулу в виде

(51,21)

При имеем и тогда . При щель мала, так что с учетом формул (40,4-5), (40,16) находим снова Таким образом, во всей области температур от 0 до

(51,22)

Итак, функция остается примерно постоянной в области (причем вблизи точки разлагается регулярно по степеням ); вне этой области функция убывает, при — по закону Такому поведению функции отвечает координатная функция , убывающая медленно (как ) в области о и быстро (по экспоненциальному закону) вне этой области. Таким образом, корреляция между полем и током простирается всегда на расстояния . Подчеркнем, что это утверждение справедливо во всей области температур от нуля до Тем самым мы пришли к обоснованию сделанного уже в § 44 утверждения об универсальности как характерного для сверхпроводимости параметра длины.