§ 37. Температурные функции Грина

Для построения диаграммной техники вычисления гриновской функции при конечных температурах надо было бы перейти от гейзенберговского представления -операторов к представлению взаимодействия, как это было сделано в § 12.

При этом мы снова пришли бы к выражению, отличающемуся от (12,12) лишь тем, что усреднение производится не по основному состоянию. Это отличие, однако, очень существенно: усреднение оператора уже не может быть отделено от усреднения остальных множителей, как это было сделано при переходе от (12,12) к (12,14); дело в том, что неосновное состояние под влиянием оператора переводится не само в себя, а в некоторую суперпозицию возбужденных состояний с той же энергией (включающую в себя результаты всевозможных процессов взаимного рассеяния квазичастиц). Это обстоятельство приводит к существенному усложнению диаграммной техники — возникают новые члены от свертываний, в которых участвуют также и -операторы из .

Можно, однако, изменить определение гриновской функции таким образом, чтобы подобных усложнений не возникало. Основанный на этом определении математический аппарат, разработанный Мацубарой (Т. Matsubara, 1955), в особенности целесообразен для вычисления термодинамических величин макроскопической системы.

Введем так называемые мацубаровские -операторы, согласно определениюх),

где — вспомогательная вещественная переменная; эти операторы отличаются, с формальной точки зрения, от гейзенберговских операторов заменой в последних вещественной переменной мнимой величиной Такой же заменой например в (7,8), получаются уравнения, которым удовлетворяют операторы (37,1). С помощью этих операторов новая функция Грина b определяется аналогично тому, как обычная гриновская функция G определяется через гейзенберговские -операторы:

где символ означает -хронологизацию - расположение операторов в порядке увеличения справа налево (с изменением знака при перестановке операторов в случае ферми-систем); скобки же означают усреднение по распределению Гиббса.

Последнее можно представить в явном виде, записав определение (37,2) как

где означает сумму всех диагональных матричных элементов. Определенную таким образом гриновскую функцию называют температурной в отличие от «обычной» функции G (которую называют в этой связи временной).

Как и функция для неферромагнитной системы в отсутствие внешнего магнитного поля сводится к скаляру: Для пространственно-однородной системы ее зависимость от снова сводится к зависимости от разности

Легко также видеть, что уже по самому определению (37,3) функция зависит только от разности Пусть, например, тогда имеем

или, произведя под знаком циклическую перестановку множителей:

откуда и очевидно сделанное утверждение.

Переменная будет фактически пробегать значения лишь в конечном интервале

При этом значения функции при связаны друг с другом простым соотношением. При аналогично выводу (37,4), находим

а сравнив это выражение с (37,4), получим

(ввиду (37,5) аргумент функции справа при положителен).

Разложим теперь функцию в интеграл Фурье по координатам и в ряд Фурье по (на интервале (37,5)):

причем для ферми-систем

(37,8а)

а для бозе-систем

(37,86)

при этом автоматически выполняется условие (37,6). Обратное к (37,7) преобразование имеет вид

(интеграл по области преобразован в интеграл от 0 до с учетом (37,6) и (37,8)).

Вычисления, аналогичные произведенным в § 36, позволяют выразить через матричные элементы шредингеровских -операторов. Они приводят к результату

Отсюда видно прежде всего, что

(37,11)

Далее, сравнив (37,10) с разложениями (36,6) и (36,20) для , найдем, что

(37,12)

Условие связано с тем, что выражения (36,5) и (36,20) справедливы непосредственно лишь в верхней полуплоскости , как это объяснено на стр. 174. Таким образом, в компонентах Фурье температурная функция Грина совпадает с запаздывающей функцией Грина, взятой в дискретных точках мнимой оси .

Этот результат позволяет, в частности, сразу написать выражение для температурной функции Грина идеального газа: заменой находим из (36,17)

В следующем параграфе будет изложена диаграммная техника для вычисления функции . Для определения же функции (и тем самым, в частности, для определения энергетического спектра системы) надо построить аналитическую функцию, совпадающую с в точках и не имеющую особенностей в верхней полуплоскости Эта процедура однозначна, если добавить требование при (см. (36,11)). Тем не менее в конкретных случаях такое аналитическое продолжение может быть сопряжено с определенными трудностями. Но для вычисления термодинамических величин его производить не надо.

Так, для вычисления потенциала можно исходить из выражения усредненной по распределению Гиббса матрицы плотности

(37,14)

(очевидного из определения (37,2); ср. (7,17)). Положив (и просуммировав по получим для плотности системы

Это выражение определяет N как функцию после чего ) вычисляется интегрированием равенства .