§ 54. Эффект Купера при отличных от нуля орбитальных моментах пары

Уже неоднократно говорилось о том, что в основе возникновения сверхтекучести в ферми-системе лежит эффект Купера — образование связанных состояний (спаривание) притягивающимися частицами на ферми-поверхности.

Для ферми-газа условие притяжения формулируется как требование отрицательности длины рассеяния , т. е. положительность амплитуды рассеяния двух частиц в состоянии с нулевым орбитальным моментом относительного движения, (именно это состояние дает главный вклад в рассеяние при малых энергиях).

Справедливо, однако, и гораздо более сильное утверждение: спаривание (и, как следствие, возникновение сверхтекучести) происходит, если взаимодействие имеет характер притяжения хотя бы при одном каком-либо значении момента I (Л. Д. Ландау, 1959). Подчеркнем, что речь идет об изотропной системе (жидкость или газ), где можно классифицировать состояния по значениям

Докажем это утверждение для ферми-газа с помощью метода, позволяющего, в принципе, определить температуру перехода в сверхтекучее состояние исходя только из свойств системы (нормального ферми-газа) при температурах

В § 18 было упомянуто, что в математическом аппарате гриновских функций нормальной ферми-системы энергия связанного состояния пары частиц проявляется как полюс вершинной функции Г; то же самое относится (при ) и к температурной вершинной функции, которую обозначим через После появления такого полюса весь этот аппарат становится в действительности неприменимым, но он еще применим в первый момент, когда, при понижении температуры, при впервые появляется полюс, причем энергия связи пары в этот момент должна равняться нулю; состояния сверхтекучей и нормальной фаз при этом совпадают.

На скелетной диаграмме

кружок изображает - . Точка перехода определяется, согласно сказанному выше, как температура, при которой имеет полюс при

Первое равенство выражает, что Спаривающиеся частицы находятся на ферми-поверхности, а энергия связи пары равна нулю; второе равенство означает, что спаривающиеся частицы имеют противоположные импульсы.

Спаривание частиц возникает уже при сколь угодно слабом их притяжении.

Ясно, что для возникновения полюса необходимо, чтобы в ряде теории возмущений для вершинной функции имелись бы члены, содержащие интегралы, расходящиеся при условии (54,1) и при мало при слабом притяжении); в противном случае все поправки к (конечному) члену первого приближения были бы заведомо малы по сравнению с последним при всех температурах, и полюс не мог бы появиться.

Этому требованию удовлетворяет ряд «лестничных» диаграмм 7

Как будет видно из последующего, во всех этих диаграммах (начиная со второй) малость по взаимодействию (от прибавления пунктирных линий) компенсируется, в указанном смысле, расходимостью интегралов.

Применив к этому ряду прием, который был уже использован при переходе от (17,3) к (17,4), найдем, что равенство (54,2) эквивалентно диаграммному уравнению

Свободным концам и внутренним линиям диаграмм отвечают аргументы, которые указаны в (54,3) уже с учетом условий (54,1):

Спиновая зависимость гриновских функций идеального газа отделяется в виде ), а спиновая зависимость вершинной функции (без антисимметризации!) - в виде

Раскрыв диаграммы (54,3) по указанным в § 38 правилам и сократив спиновые множители, получим для функции интегральное уравнение

В стоящих здесь сумме и интегралах существенны малые значения дискретной переменной и значения q вблизи ферми-поверхности (см. ниже). Поэтому в множителях под знаком интеграла можно положить На ферми-поверхности лежат также и векторы Таким образом, все функции и U в уравнении (54,4) будут зависеть каждая лишь от одной независимой переменной — угла между какими-либо двумя из трех векторов ферми-поверхности.

Уравнение (54,4) можно теперь решить, разложив U и в ряды по полиномам Лежандра:

где — какой-либо из указанных углов. Подставив эти разложения в (54,4) и произведя интегрирование по направлениям с помощью теоремы сложения сферических функций, получим

где

функция взята из (37,13), . Согласно формуле суммирования (42,10), имеем

Расходимость интеграла по на верхнем пределе фиктивна примечание на стр. 189) и интеграл должен быть обрезан при некотором Но при интеграл расходится логарифмически также и на нижнем пределе, т. е. ведет себя как

Из (54,6) видно, что обращается в бесконечность (т. е. имеет полюс) при условии

Но это уравнение совпадает по форме с уравнением, определяющим точку перехода при спаривании с , отличаясь от него лишь заменой «константы связи» g на (ср. (42,11)); понимая эту формулу как уравнение для определения надо положить в ней после чего совпадает с . Мы видим, следовательно, что вершинная функция имеет полюс, если хотя бы одна из величин отрицательна; при этом температура перехода

(ср. (40,4) и (39,19)). Если при ряде различных значений l, то переход происходит при температуре отвечающей максимальному

Можно показать, что во всяком ферми-газе (или жидкости), состоящем из электрически нейтральных атомов, величины во всяком случае должны стать, отрицательными при достаточно больших значениях l (Л. П. Питаевский, 1959). Причина заключается в том, что во взаимодействии нейтральных атомов всегда есть область расстояний (больших), на которых оно имеет характер притяжения так называемое ван-дер-ваальсово притяжение.

В реально существующей жидкости такого рода жидком изотопе — возникновение сверхтекучести происходит, по-видимому, за счет спаривания с Мы не будем останавливаться на структуре сверхтекучей фазы и обсудим лишь кратко вопрос о выборе параметра порядка, отличающего эту фазу от нормальной. Величиной, равной нулю выше точки перехода и отличной от нуля ниже нее, является аномальная гриновская функция как было уже указано в § 41, она играет роль волновой функции связанных пар частиц. Ее фурье-компонента взятая на ферми-поверхности (т. е. при ), является функцией направления (а не константой, как при спаривании с . В силу антикоммутации -операторов функция антисимметрична, как и следовало, по отношению к перестановкечастиц: .

При спаривании с (как и с любым нечетным моментом) — нечетная функция , так что — симметричный спинор. Это значит, что спин пары равен единице, как и должно быть для состояния двух одинаковых фермионов с нечетным l. Симметричный спинор второго ранга эквивалентен вектору, который обозначим через d. В случае зависимость d от должна отвечать полиному Лежандра т. е. быть линейной: . Комплексный тензор второго ранга (не обязательно симметричный!) и описывает сверхтекучую фазу. Реально существуют две различные сверхтекучие фазы жидкого различающиеся видом тензора .