§ 58. Квазиклассические уровни энергии

Мы видели, что классическому движению электрона в решетке в магнитном поле по замкнутой траектории в -пространстве отвечает в обычном пространстве движение, финитное в плоскости, перпендикулярной направлению поля Н. При переходе к квантовой механике это приводит к возникновению дискретных уровней энергии при каждом фиксированном значении продольного квазиимпульса Эти уровни определяются общими правилами квазиклассического квантования.

Выберем векторный потенциал однородного магнитного поля (направленного вдоль оси z) в виде Тогда компоненты обобщенного квазиимпульса

Координата является циклической переменной, и поэтому -компонента обобщенного квазиимпульса сохраняется:

(58,2)

Согласно правилу квантования Бора—Зоммерфельда (см. III § 48), пишем условие

где интегрирование распространено по периоду движения, а — целое положительное число, предполагаемое большим.

Подставив сюда, согласно (58,1-2), , получим

где теперь интеграл берется по замкнутой траектории в -пространстве. Этот интеграл — не что иное, как охватываемая траекторией площадь, т. е. введенная в предыдущем параграфе площадь сечения изоэнергетической поверхности плоскостью .

Таким образом, окончательно находим

(И. М. Лифшиц, 1951; L. Onsager, 1952). Этим условием и определяются в неявном виде уровни энергии Таким образом, энергетическая зона (номер s которой мы для краткости не выписываем) распадается на дискретный ряд подзон Ландау, каждая из которых представляет собой полосу уровней энергии, отличающихся значением непрерывной переменной .

Как известно, квазиклассическое условие квантования может быть уточнено введением поправки, сводящейся к прибавлению к большому квантовому числу числа порядка единицы. Определение этой поправки требует рассмотрения движения вблизи «точек остановки», ограничивающих область интегрирования в (58,3).

Зависимость от у на траектории электрона определяется уравнением

при заданном значении и при ; точка остановки определяется условием обращения в нуль скорости . Вблизи этой точки разложение уравнения (58,6) - по степеням дает

Отсюда видно, что приближение к точке остановки происходит по корневому закону

(для определенности считаем, что классически недоступная область лежит при ). Но это тот самый закон, к которому относится обычный вывод поправки в квазиклассическом квантовании (см. III §§ 47, 48). Уточненное правило (58,5) имеет, следовательно, вид

Как это ясно из вывода (основанного на разложении функции (58,6)), для справедливости уточненного правила квантования необходимо, чтобы траектория проходила в достаточном удалении от особых точек функции (в том числе от комплексных точек ветвления). Необходимо также, чтобы нигде вблизи траектории не нарушалось условие квазиклассичности (в частности — не обращалась в нуль х, у проекция скорости ). Наконец, надо иметь в виду приближенность самого гамильтониана (56,7), на котором основаны все выводы. Если решетка обладает центром инверсии, то поправки к гамильтониану квадратичны по напряженности поля и не отражаются на условии (58,7). Но если центр инверсии отсутствует, то поправки к гамильтониану линейны по Н; в этом случае поправочный член 1/2 в (58,7) теряет смысл, так как погрешность того же порядка дает и приближенность гамильтониана.

Интервал между двумя последовательными уровнями отвечает изменению большого числа на единицу. Он определяется, следовательно, равенством

Введя классическую частоту периодического движения согласно (57,7), получим

Подчеркнем, что частота сама есть функция (и ). Поэтому последовательные уровни энергии (при заданном ) не являются строго эквидистантными, как это было бы в случае свободных электронов, где (он есть постоянная величина.

Независимость уровней энергии от сохраняющейся величины означает (как и для свободных электронов в магнитном поле — см. III § 112) их вырождение. Если представлять себе решетку, обладающей большим, но конечным объемом V, то кратность этого вырождения будет конечной. Число состояний в интервале и с заданным значением определяется как где -площадь в плоскости , заключенная между траекториями с квантовыми числами Эта площадь дается выражением (58,8), и, таким образом, находим для искомого числа состояний выражение

(58,10)

— то же самое, что и в случае свободных электронов.

Наглядная причина вырождения уровней в магнитном поле заключается в независимости энергии от положения в пространстве «центра ларморовской орбиты» электрона. Для свободного электрона это вырождение является точным.. Для электрона же в решетке оно может быть лишь приближенным: в виду наличия неоднородного (периодического) электрического поля различные положения «центра орбиты» в элементарной ячейке решетки уже не. эквивалентны. Это обстоятельство должно приводить к некоторому расщеплению уровней Ландау.

Учет спица электрона приводит к расщеплению каждого уровня на две компоненты; в пренебрежении спин-орбитальной связью эти компоненты разделены (как и для свободного электрона) постоянным интервалом где — магнетон Бора:

(58,11)

Такая ситуация остается и при учете спин-орбитального взаимодействия, если кристалл обладает центром инверсии. В этом случае состояния электрона в отсутствие поля вырождены по спину, а магнитное поле снимает это вырождение. В результате получается та же формула (58,11) с заменой на где характеризует изменение магнитного момента электрона.