§ 90. Операторные выражения для кинетических коэффициентов

Полученным в § 88 формулам (88,20-21) можно придать новый аспект, прочтя их «справа налево», т. е. рассматривая их как выражения для коэффициентов теплопроводности и вязкости. При этом корреляционные функции в левых сторонах равенства можно выразить, согласно их определению, через операторы некоторых величин, имеющих микроскопический смысл; в результате через эти операторы оказываются выраженными кинетические коэффициенты жидкости.

Прежде всего надо учесть, что отсутствие корреляции между флуктуациями «случайных» потоков энергии и импульса в различных точках пространства (-функция ) в формулах (88,20-21)) является следствием гидродинамического приближения; последнее справедливо лишь при малых значениях волнового вектора. Чтобы выразить это условие в явном виде, запишем формулы в компонентах фурье-разложения по пространственным координатам (что сводится к замене множителей ) единицей) и перейдем к пределу Так, формулу (88,20), свернутую по паре индексов

запишем в виде

Легко видеть, что при такой записи можно заменить в этой формуле «случайный» поток тепла g на полный поток энергии, который обозначим через Q. Последний, как известно из гидродинамики, складывается из потока конвективного переноса энергии и потока тепла

( — тепловая функция единицы массы жидкости; в последнем выражении опущен член с более высокой степенью флуктуационной скорости v). Но при малых к флуктуации реальных физических величин и т. п.) содержат, по сравнению с флуктуациями случайных потоков, лишнюю степень к, и потому в пределе флуктуации g совпадают с флуктуациями Q.

Это сразу очевидно уже из того, что в уравнении движения гидродинамических флуктуаций потоки g и входят только под знаком пространственных производных, а указанные физические величины—также и в виде производных по времени; после перехода к фурье-компонентам, следовательно, вторые оказываются порядка по отношению к первым.

В отличие от g, полный поток энергии Q есть величина, имеющая прямой механический смысл, и ей отвечает определенный квантовомеханический оператор , выражающийся через операторы динамических переменных частиц среды. Вспомнив определение корреляционной функции через операторы (гейзенберговские) соответствующей величины, приходим, таким образом, к формуле

Более целесообразное представление функции получится, однако, если воспользоваться формулой, выражающей корреляционную функцию через коммутатор соответствующих операторов.

Если - две флуктуирующие величины (равные нулю в равновесии и ведущие себя одинаковым образом при обращении времени), то их корреляционная функция, согласно (76,1) и (75,11), может быть представлена в виде

где скобки означают коммутатор. Перейдя к фурье-разложению по координатам получим формулу

Применив эту формулу к корреляционной функции и подставив в (90,1), получим

Справа и слева в этой формуле под знаком стоят функции , стремящиеся к нулю при и не имеющие особенностей в верхней полуплоскости комплексной переменной .

Из равенства вещественных частей таких функций на вещественной оси со следует также и равенство самих функций, и мы приходим к окончательной формуле:

Чтобы получить статическое значение коэффициента теплопроводности, надо затем перейти и к пределу

Аналогичным образом можно преобразовать формулу (88,21) и получить операторное выражение для коэффициентов вязкости.

Если ввести полный поток импульса из (88,9)), то в пределе флуктуации всех членов, кроме обратятся в нуль, так что в этом пределе можно заменить корреляционную функцию на . В результате получим формулу

где -оператор плотности потока импульса (Н. Mori, 1958). Свернув это равенство по парам индексов i, k и или , получим отдельные выражения соответственно для или