§ 33. Собственно-энергетические функции

Изучим более подробно структуру диаграмм для функций Грина, введя в рассмотрение понятие о собственно-энергетической функции подобно тому, как это было сделано в § 14 для ферми-систем: путем рассмотрения совокупности всех диаграмм (с двумя внешними сплошными линиями), которые не могут быть рассечены на две части пересечением лишь одной сплошной линии. В отличие от § 14, однако, теперь возникают различные возможности в смысле направления внешних линий диаграмм: наряду с диаграммами с одной входящей и одной выходящей линией существуют диаграммы с двумя выходящими или двумя входящими линиями. Соответственно этому, возникают собственно-энергетические части трех родов:

(в этих обозначениях первый индекс у указывает число входящих, а второй — число выходящих внешних сплошных линий). Наряду со сплошными внешними линиями собственноэнергетические диаграммы имеют, вообще говоря, также и волнистые (конденсатные) свободные концы. Эти концы включаются в определение собственно-энергетической функции, изображенной здесь кружком. Мы увидим ниже, что функции и фактически совпадают

Сразу же отметим также, что поскольку Р и —Р входят в определение этих функций симметричным образом, они четны по своему аргументу:

Приведем для иллюстрации все отличные от нуля диаграммы функций в двух первых порядках теории возмущений

Составим теперь уравнения, выражающие точные функции G и F через собственно-энергетические функции.

В терминах теории возмущений разность выражается суммой бесконечного числа диаграмм—цепочек вида

состоящих из различных чисел кружков, соединенных всеми возможными способами стрелками прямого и обратного (по сравнению с двумя крайними) направлений. Аналогичным образом, точная функция F (функция изобразится суммой цепочек, в которых две крайние стрелки имеют противоположные направления:

Если отсечь во всех этих цепочках крайнее звено (кружок вместе со стрелкой) как показано вертикальным пунктиром, то совокупность оставшихся диаграмм с одинаковыми направлениями крайних стрелок снова будет совпадать с точной функций G, а совокупность диаграмм с противоположными направлениями крайних стрелок с точной функцией F.

Введем графическое обозначение этих функций жирными одно- и двусторонними стрелками

Тогда сделанные утверждения запишутся в виде графических равенств, составленных из скелетных диаграмм:

(ср. аналогичное уравнение (14,4)).

В аналитическом виде эти равенства дают

Решив эти уравнения относительно G и F и подставив выражение (31,22) для получим искомые формулы

где

(33,10)

Подчеркнем, что эти соотношения не зависят от внутренней структуры собственно-энергетических функций, а потому не связаны и с предположением о парности взаимодействий между частицами, так что они верны для любой бозе-жидкости.

Энергия элементарных возбуждений в жидкости в зависимости от импульса определяется полюсами функций G и F по отношению к переменной . При малых эти возбуждения являются фононами и их энергия стремится к нулю вместе с . Поэтому функция (33,10) должна обращаться в нуль при Отсюда находим равенство

Как уравнение по отношению к оно имеет два корня, из которых должен быть выбран

(33,11)

Действительно, в длинноволновом пределе -оператор дается выражением (27,2) и его надконденсатная часть , так что и затем ; последнее равенство выполняется именно при выборе (33,11), когда числители в (33,9) (в пределе отличаются только знаком. Равенство (33,11) и есть то второе соотношение (см. конец § 32), которое вместе с соотношением (31,6) дает возможность выразить параметры через плотность жидкости .

Дальнейшее разложение выражения (33,10) в ряд по определяет вид функции Грина в области малых значений их аргументов.

При этом надо учесть, что скалярные функции разлагаются по степеням а разложение четной по всем своим аргументам функции содержит лишь четные степени также и переменной а». Представив (33,10) в виде

сразу заключаем, что первые неисчезающие члены разложения имеют вид , где — постоянная, представляющая собой, очевидно, скорость звука в жидкости. Заметив также, что в силу (33,11) числители в (33,9) при отличаются только знаком, найдем, что

Значение постоянной в числителе можно определить, вычислив по этой гриновской функции импульсное распределение частиц (при малых ) и сравнив его с известным уже нам распределением (27,7). Интеграл

(ср. (7,23)) вычисляется путем замыкания пути интегрирования бесконечно удаленной полуокружностью в верхней полуплоскости (ср. замечание в конце § 7) и соответственно, определяется вычетом в полюсе . В результате получим и сравнение с (27,7) дает Таким образом, окончательно находим следующее выражение функций Грина при малых :

Отметим, что эта функция совпадает (с точностью до нормировочного коэффициента) с функцией Грина фононного поля (см. задачу в § 31) - вполне естественный результат, поскольку в области малых все элементарные возбуждения в бозе-жидкости являются фононами.

Наконец, проиллюстрируем полученные формулы в применении к рассмотренной в § 25 модели почти идеального бозе-газа с парным взаимодействием между частицами. В первом приближении теории возмущений и 203 определяются первыми двумя диаграммами (33,4) и первой диаграммой (33,5). Раскрыв их в аналитическом виде, получим

С той же точностью плотность конденсата в этих формулах можно заменить полной плотностью газа . Как было указано в § 25, в этой модели импульсы частиц газа можно считать малыми, соответственно чему фурье-компоненты можно заменить их значением при . Тогда

(33,13)

Подстановка этих выражений в (33,11) дает согласии с (25,6). Подстановка же в (33,9-10) приводит к следующим формулам для функций Грина:

где

Из вида знаменателей этих функций ясно, что есть энергия элементарных возбуждений — в согласии с полученным ранее другим способом результатом (25,10 —11).