§ 49. Диамагнитная восприимчивость выше точки перехода

В конце § 45 уже было отмечено, что область температур вблизи в которой флуктуации параметра порядка становятся большими, в сверхпроводнике чрезвычайно узка. Вне этой области флуктуационные поправки к термодинамическим величинам, вообще говоря, очень малы. Они могут, однако, оказаться существенными для магнитной восприимчивости металла выше точки перехода: появление вследствие флуктуаций даже относительно малого числа сверхпроводящих электронов может привести к вкладу в магнитную восприимчивость, превышающему обычно очень малую восприимчивость нормального металла вдали от точки перехода

Рассмотрим металл в слабом внешнем магнитном поле при температуре выше точки но близкой к ней. Равновесное значение параметра порядка здесь а для вычисления его флуктуаций можно использовать свободную энергию из теории Гинзбурга—Ландау. При этом в выражении (45,10) можно, в виду малости флуктуаций, сохранить только квадратичные по члены, опустив член с и понимая под А векторный потенциал однородного поля Флуктуации индукции В, связанные с флуктуациями квадратичны по (ввиду квадратичности плотности тока j). Поэтому в члене можно понимать под В среднее (термодинамическое) значение индукции, пренебрегая ее флуктуациями. Таким образом, изменение полной свободной энергии металла при флуктуации дается следующим выражением — функционалом от

Для вычисления флуктуационного вклада в свободную энергию надо рассматривать функционал (49,1) как «эффективный гамильтониан», определяющий согласно формуле

где интегрирование (функциональное) производится по всем распределениям (см. V § 147). Фактически оно осуществляется путем разложения по некоторой полной системе собственных функций и интегрированием по бесконечному множеству коэффициентов этого разложения. В случае однородной (без внешнего поля) системы разложение производится просто по плоским волнам (см., например, задачу в V § 147).

В данном же случае разложение следует производить по собственным функциям «уравнения Шредингера»

отвечающего гамильтониану (49,1). В § 47 уже было отмечено, что это уравнение формально совпадает с уравнением Шредингера для движения частицы (с массой и зарядом ) в однородном магнитном поле. Его собственные функции нумеруются одним дискретным и двумя непрерывными квантовыми числами, причем собственные значения зависят только от и (ось z в направлении ) и даются формулой

число различных собственных функций с заданным значением в интервале и всеми возможными есть

(см. III § 112).

Обозначим, для краткости, совокупность чисел одним символом q и напишем разложение функции в виде

где — произвольные комплексные коэффициенты, а собственные функции предполагаются нормированными условием (интегрирование производится по объему металла).

Подстановка разложения (49,5) в (49,1) позволяет прежде всего перейти от интегрирования по объему к суммированию по q. Действительно, проинтегрировав первый член по частям, приводим (49,1) к виду

Подставив сюда (49,5) и учтя, что каждая из функций удовлетворяет уравнению (49,3) с и что собственные функции с различными q взаимно ортогональны, получим

Функциональное интегрирование в (49,2) означает интегрирование по всем . После подстановки (49,6) интегрирования по всем этим переменным разделяются и дает

или

В терминах квантовых чисел это выражение записывается как

Эта сумма расходится при больших Е, но расходимость в действительности фиктивна и связана лишь с тем, что исходная формула (49,1) применима только при медленно меняющихся функциях : изменение должно быть мало на расстояниях . В терминах собственных значений это значит, что допустимы лишь Обрезав сумму по при некотором большом N, удовлетворяющем поставленному условию, воспользуемся формулой Пуассона

(см. V (59,10)). В применении к (49,8) первый, интегральный, член этой формулы дает, как легко понять, не зависящий от вклад в свободную энергию; этот член не нужен для вычисления магнитной восприимчивости, и мы его опустим. Во втором же члене можно положить теперь (так что параметр обрезания выпадает из ответа):

Окончательно, после взятия интеграла,

Отсюда магнитная восприимчивость

(Н. Schmidt, 1968; A. Schmid, 1969). Мы видим, что вблизи точки перехода восприимчивость возрастает как . В этой области (49,10) представляет собой основной вклад в магнитную восприимчивость нормального металла.

Задачи

1. Определить магнитный момент тонкой (толщина ) пленки в перпендикулярном ее плоскости слабом магнитном поле при температурах ,

Решение. Конечность толщины пленки приводит к дискретности квантового числа в (49,4), причем для тонкой пленки надо ограничиться в (49,7) лишь значением (уже первое отличное от нуля значение так что ). Число собственных функций с заданными и (и всеми возможными ) есть где S — площадь пленки; поэтому суммирование по q в (49,7) надо понимать как Применив к сумме формулу Пуассона, получим в результате

Магнитный момент пленки

Обратим внимание на то, что он возрастает при быстрее, чем в случае неограниченного металла.

2. То же для шарика радиуса (В. В. Шмидт, 1966). Решение. В этом случае из всех собственных значений уравнения (49,3) существенно лишь одно, наименьшее, отвечающее собственной функции и равное (см. все сказанное по этому поводу в задаче к § 47). Сумма (49,7) сводится к одному члену, и магнитный момент