Главная > Теоретическая физика. Т. IX. Теория конденсированного состояния
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

ГЛАВА IX. ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ ФЛУКТУАЦИИ

§ 86. Динамический формфактор жидкости

Рассмотренная в V § 116 корреляционная функция флуктуаций плотности является частным случаем более общей функции, связывающей флуктуации плотности не только в различных точках пространства, но и в различные моменты времени. В классической теории эта функция определяется как среднее значение

где из определения а вынесен множитель — средняя плотность числа частиц. Для однородной и изотропной среды (жидкость, газ) функция (86,1) зависит от только через расстояние между двумя точками, что и будет предполагаться ниже.

В квантовой теории аналогичная функция определяется с помощью симметризованного произведения зависящих от времени (гейзенберговских) операторов плотности как

(в соответствии с общим способом определения согласно V (118,4)). Некоторые преимущества, однако, имеет в данном случае несимметричное определение

для которого сохраним обозначение . В противоположность функции функция не является четной по переменной очевидно, что

Фурье-образ функции по времени и координатам

называют динамическим формфактором среды. Ввиду изотропии функции он зависит только от абсолютной величины волнового вектора. Из (86,4) следует, что фурье-образ функции

Чисто пространственная корреляция флуктуаций плотности жидкости определяется функцией (86,1) при . Эта функция связана с введенной в V § 116 (и использованной в § 83) функцией согласно ; их фурье-образы: Функцию или называют статическим формфактором жидкости. Функции и связаны друг с другом интегральным соотношением

Шредингеровский (не зависящий от времени) оператор плотности дается суммой

взятой по всем частицам среды; координаты частиц играют роль параметров (ср. (24,4)). Нам понадобятся ниже компоненты фурье-разложения этого оператора по координатам

Переход к зависящему от времени (гейзенберговскому) оператору происходит по общему правилу

(86,10)

где Н — гамильтониан системы. Этот оператор может быть представлен выражениями (86,8-9) с заменой в них на — гейзенберговские операторы координат частиц.

Согласно основным принципам статистики, усреднение можно понимать по-разному, в зависимости от того, через какие термодинамические переменные должен быть выражен результат.

Taк, если функция о определяется при заданных полной энергии и числе частиц системы, то усреднение производится, по определенному (m-му) стационарному состоянию, т. е. взятием соответствующего диагонального матричного элемента. Для однородной системы (жидкость) зависимость матричных элементов оператора от времени и координат дается формулой

(86,11)

вполне аналогичной (8,4) (в правой части стоит матричный элемент шредингеровского оператора ), взятого в точке С учетом этой формулы пишем

Фурье-образ этой функции

Суммирование в этих формулах производится по всем состояниям системы с заданным числом частиц (поскольку оператор не мецяет этого числа).

Если же мы хотим выразить формфактор через температуру и химический потенциал жидкости, то выражение (86,12) должно еще быть усреднено по распределению Гиббса:

(86,13)

(причем во всех членах суммы ). Выписав такую же формулу для , взаимно переобозначив в ней индексы суммирования и заменив в экспоненциальном множителе (последнее равенство следствие наличия -функции), получим

и затем, согласно (86,6),

(86,15)

Отметим, что из (86,13) (или (86,12)) следует, что функция с при всех значениях ее аргументов.

Из соотношения же (86,14) следует, что при нулевой температуре

В макроскопическом пределе при заданном отношении «частокол» -функций в (86,13) размазывается в непрерывную функцию, но -функционные пики в (со, k) остаются при значениях отвечающих незатухающим элементарным возбуждениям (как это следует из рассуждений, подобных изложенным в § 8). Такие пики возникают, однако, лишь для возбуждений без изменения числа частиц.

Покажем, каким образом формфактор жидкости может быть связан с величинами, фигурирующими в общей формулировке флуктуационно-диссипационной теоремы (D. Pines, Ph. Nozieres, 1958).

Пусть на каждую частицу жидкости действует некоторое внешнее поле, сообщающее частице потенциальную энертию . Тогда оператор возмущения, действующий на жидкость в целом, будет

(86,17)

Подвергнув все входящие сюда величины фурье-разложению по времени, представим отклик системы (т. е. среднее значение вызванного возмущением изменения плотности) выражением вида

(86,18)

где функция играет роль обобщенной восприимчивости. Фурье-компонента по времени от корреляционной функции есть, в обозначениях флуктуационно-диссипационной теоремы:

Согласно этой теореме, эта функция выражается через обобщенную восприимчивость формулой

(86,19)

Такой же формулой выражается фурье-компонента по координатам через после чего, согласно (86,15), находим для динамического формфактора

(86,20)

Важность этих формул связана прежде всего с тем, что ими устанавливается связь динамического формфактора с функцией с известными общими аналитическими свойствами (по переменной ); для функции а (со, k) эти свойства описаны в V § 123. Они позволяют также применить к вычислению формфактора общую формулу (ср. (75,11)), согласно которой

Выразив операторы плотности через -операторы , можно привести это выражение к виду двухчастичной функции Грина, для вычисления которой применима диаграммная техника.

1
Оглавление
email@scask.ru