ГЛАВА IX. ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ ФЛУКТУАЦИИ

§ 86. Динамический формфактор жидкости

Рассмотренная в V § 116 корреляционная функция флуктуаций плотности является частным случаем более общей функции, связывающей флуктуации плотности не только в различных точках пространства, но и в различные моменты времени. В классической теории эта функция определяется как среднее значение

где из определения а вынесен множитель — средняя плотность числа частиц. Для однородной и изотропной среды (жидкость, газ) функция (86,1) зависит от только через расстояние между двумя точками, что и будет предполагаться ниже.

В квантовой теории аналогичная функция определяется с помощью симметризованного произведения зависящих от времени (гейзенберговских) операторов плотности как

(в соответствии с общим способом определения согласно V (118,4)). Некоторые преимущества, однако, имеет в данном случае несимметричное определение

для которого сохраним обозначение . В противоположность функции функция не является четной по переменной очевидно, что

Фурье-образ функции по времени и координатам

называют динамическим формфактором среды. Ввиду изотропии функции он зависит только от абсолютной величины волнового вектора. Из (86,4) следует, что фурье-образ функции

Чисто пространственная корреляция флуктуаций плотности жидкости определяется функцией (86,1) при . Эта функция связана с введенной в V § 116 (и использованной в § 83) функцией согласно ; их фурье-образы: Функцию или называют статическим формфактором жидкости. Функции и связаны друг с другом интегральным соотношением

Шредингеровский (не зависящий от времени) оператор плотности дается суммой

взятой по всем частицам среды; координаты частиц играют роль параметров (ср. (24,4)). Нам понадобятся ниже компоненты фурье-разложения этого оператора по координатам

Переход к зависящему от времени (гейзенберговскому) оператору происходит по общему правилу

(86,10)

где Н — гамильтониан системы. Этот оператор может быть представлен выражениями (86,8-9) с заменой в них на — гейзенберговские операторы координат частиц.

Согласно основным принципам статистики, усреднение можно понимать по-разному, в зависимости от того, через какие термодинамические переменные должен быть выражен результат.

Taк, если функция о определяется при заданных полной энергии и числе частиц системы, то усреднение производится, по определенному (m-му) стационарному состоянию, т. е. взятием соответствующего диагонального матричного элемента. Для однородной системы (жидкость) зависимость матричных элементов оператора от времени и координат дается формулой

(86,11)

вполне аналогичной (8,4) (в правой части стоит матричный элемент шредингеровского оператора ), взятого в точке С учетом этой формулы пишем

Фурье-образ этой функции

Суммирование в этих формулах производится по всем состояниям системы с заданным числом частиц (поскольку оператор не мецяет этого числа).

Если же мы хотим выразить формфактор через температуру и химический потенциал жидкости, то выражение (86,12) должно еще быть усреднено по распределению Гиббса:

(86,13)

(причем во всех членах суммы ). Выписав такую же формулу для , взаимно переобозначив в ней индексы суммирования и заменив в экспоненциальном множителе (последнее равенство следствие наличия -функции), получим

и затем, согласно (86,6),

(86,15)

Отметим, что из (86,13) (или (86,12)) следует, что функция с при всех значениях ее аргументов.

Из соотношения же (86,14) следует, что при нулевой температуре

В макроскопическом пределе при заданном отношении «частокол» -функций в (86,13) размазывается в непрерывную функцию, но -функционные пики в (со, k) остаются при значениях отвечающих незатухающим элементарным возбуждениям (как это следует из рассуждений, подобных изложенным в § 8). Такие пики возникают, однако, лишь для возбуждений без изменения числа частиц.

Покажем, каким образом формфактор жидкости может быть связан с величинами, фигурирующими в общей формулировке флуктуационно-диссипационной теоремы (D. Pines, Ph. Nozieres, 1958).

Пусть на каждую частицу жидкости действует некоторое внешнее поле, сообщающее частице потенциальную энертию . Тогда оператор возмущения, действующий на жидкость в целом, будет

(86,17)

Подвергнув все входящие сюда величины фурье-разложению по времени, представим отклик системы (т. е. среднее значение вызванного возмущением изменения плотности) выражением вида

(86,18)

где функция играет роль обобщенной восприимчивости. Фурье-компонента по времени от корреляционной функции есть, в обозначениях флуктуационно-диссипационной теоремы:

Согласно этой теореме, эта функция выражается через обобщенную восприимчивость формулой

(86,19)

Такой же формулой выражается фурье-компонента по координатам через после чего, согласно (86,15), находим для динамического формфактора

(86,20)

Важность этих формул связана прежде всего с тем, что ими устанавливается связь динамического формфактора с функцией с известными общими аналитическими свойствами (по переменной ); для функции а (со, k) эти свойства описаны в V § 123. Они позволяют также применить к вычислению формфактора общую формулу (ср. (75,11)), согласно которой

Выразив операторы плотности через -операторы , можно привести это выражение к виду двухчастичной функции Грина, для вычисления которой применима диаграммная техника.