§ 32. Диаграммная техника для бозе-жидкости

Дальнейшее построение диаграммной техники для вычисления функций Грина бозе-системы производится подобно тому, как это было сделано в §§ 12—13 для ферми-систем. Как и там, сформулируем правила этой техники для систем с парным взаимодействием между частицами, описывающимся оператором

Специфика бозе-жидкостей с конденсатом состоит прежде всего в том, что все гейзенберговские -операторы должны быть представлены в виде где — его надконденсатная часть, а Е — конденсатная волновая функция, представляющая собой (для неподвижной жидкости) просто вещественное число После такой подстановки оператор (32,1) распадается на ряд членов, содержащих от четырех до нуля операторов (вместе с соответствующим дополнительным числом множителей ).

Все сказанное в § 12 о переходе к представлению взаимодействия остается полностью в силе, а дальнейшее раскрытие получающихся выражений осуществляется с помощью теоремы Вика (с тем лишь отличием, что перестановка -операторов в усредняемом произведении не требует теперь изменения знака). Разнообразие членов, на которые распадается оператор (32,1), приводит, однако, к появлению новых элементов в фейнмановских диаграммах. Опишем эти элементы сразу в окончательном, импульсном представлении.

В каждой вершине диаграммы по-прежнему сходятся три линии: пунктирная линия (которой сопоставляется множитель ) с -импульсом и две линии частиц — одна входящая и одна выходящая. Но при этом надо различать конденсатные и надконденсатные частицы. Сплошные линии будут отвечать теперь надконденсатным частицам, и такой линии (с -импульсом ) по-прежнему отвечает множитель Линии же конденсатных частиц будем изображать волнистыми; этим линиям приписывается -импульс и им сопоставляется множитель . Таким образом, возникают вершины четырех видов:

(вершины с одной или двумя волнистыми линиями называют неполными). В каждой вершине должен выполняться «закон сохранения 4-импульса»; поэтому в вершинах и в 4-импульс пунктира совпадает с 4-импульсом сплошной линии, а в вершине он равен нулю).

Волнистые линии всегда являются внешними линиями диаграммы, т. е. присоединены к ней лишь одним из своих концов, второй же конец остается свободным.

Каждая диаграмма, входящая в определение функции Грина G (Р), имеет две сплошные внешние линии с 4-импульсами Р (входящую и выходящую), а сверх того может иметь некоторое (четное) число волнистых внешних линий; полные числа входящих и выходящих внешних концов во всякой диаграмее одинаковы (чем выражается сохранение полного числа частиц в системе—конденсатных вместе с надконденсатными). Как и для ферми-системы (и по той же причине — см. § 13), допустимы только диаграммы, не распадающиеся на две (или более) не связанные друг с другом части. В отличие от случая ферми-систем, меняется, однако, правило, определяющее общий знак, с которым диаграммы входят в : все диаграммы входят с одинаковыми знаками (т. е. устраняется указанное на стр. 70 правило 3).

Каждая из пунктирных линий в диаграмме имеет на своих двух концах полную или неполную вершину. Это не могут, однако, быть две вершины типа (32,2 г): не имея ни одного сплошного конца, такая фигура вообще не может быть присоединена к диаграмме функции Грина. Это не могут быть также вершины типов (32,2 г) и (32,2 в) (или (32,2 г) и (32,2 б)): при наличии трех волнистых концов сохранение -импульса в вершинах привело бы в такой фигуре к обращению в нуль также и 4-импульса четвертого конца, т. е. мы пришли бы к фигуре со всеми четырьмя конденсатными (волнистыми) концами.

Значительное число диаграмм в каждом порядке теории возмущений, построенных по описанным правилам, однако, тождественно обращается в нуль. Причиной этого исчезновения является отсутствие надконденсатных частиц в основном состоянии идеального бозе-газа. Это в особенности ясно видно, если проследить за происхождением диаграмм в координатном представлении: равны нулю все свертки вида в которых оператор уничтожения надконденсатных частиц стоит справа и действует на основное состояние первым; остаются только свертки вида

Так обращаются в нуль диаграммы с «замкнутой на себя» сплошной линией: такая линия возникает от свертки представляющей плотность надконденсатных частиц.

Далее, равны нулю диаграммы, содержащие сплошную линию, замкнутую пунктиром:

Такая линия возникает от свертки двух -операторов внутри одного и того же оператора взаимодействия , в котором стоят слева от .

Наконец, равны нулю все диаграммы, в которых можно провести замкнутый контур по некоторой последовательности сплошных и пунктирных линий так, что направления сплошных линий вдоль всего контура одинаковы. Изобразим контур такого рода, указав у точек на концах линий временные аргументы -операторов:

Аргументы на концах каждого пунктира одинаковы. Аргументы же функций отвечающих сплошным линиям, равны разностям для любого замкнутого контура их сумма будет равна нулю, так что хотя бы один из них отрицателен и соответствующая функция обратится в нуль.

Описанные правила относятся и к диаграммам, определяющим аномальную функцию Грина, с той лишь разницей, что обе сплошные внешние линии должны быть выходящими (для функции F) или обе входящими (для функции ). Соответственно становятся неодинаковыми в этих диаграммах числа входящих и выходящих волнистых линий так, чтобы общее число всех выходящих линий осталось равным общему числу входящих. Одной из внешних сплошных линий приписывается 4-импульс Р, а другой — 4-импульс — Р (где Р — аргумент искомой функции или сумма 4-импульсов обеих этих линий должна быть равна нулю в силу «закона сохранения 4-импульса», примененного к диаграмме в целом.

Вычисленные по диаграммной технике функции Грина содержат два параметра — химический потенциал и плотность конденсата эти параметры надо еще связать с плотностью жидкости

Одно соотношение между этими тремя величинами дает формула (31,6), следующая непосредственно из определения функции Грина. В качестве второго соотношения можно пользоваться полученным ниже уравнением (33,11), явно выражающим в терминах понятий диаграммной техники.