§ 27. Температурная зависимость плотности конденсата

Плотность числа частиц в конденсате максимальна при , а при повышении температуры она падает. Предельный закон температурной зависимости этой плотности при может быть найден путем рассмотрения флуктуаций макроскопической величины—конденсатной волновой функции Н (R. A. Ferrell, N. Menyhard, Н. Schmidt, F. Schwabl, P. Szepfalusy, 1968).

Напомним прежде всего, что S есть классическая величина, которой в квантовомеханическом формализме отвечает оператор Ф. Поэтому для вычисления флуктуаций следовало бы, в принципе, пользоваться этим оператором. С другой стороны, вблизи абсолютного нуля основную роль в спектре флуктуаций макроскопической величины играют длинноволновые колебания. Эти колебания в жидкости представляют собой звуковые волны, описывающиеся макроскопическими уравнениями гидродинамики, и тем самым возникает возможность построить оператор, отвечающий величине S, путем ее независимого квантования.

В данном случае для величины в длинноволновом пределе наиболее сильно флуктуирует фаза Ф, непосредственно связанная с потенциалом сверхтекучей скорости формулой (26,13). Напомним, что обе величины и Ф неоднозначны — к ним можно прибавить любую константу. Однозначная же величина может выражаться поэтому лишь через производные от Ф, а потому компоненты Фурье ее флуктуаций будут содержать лишние степени волнового вектора к, т. е. будут малы при малых k.

Связь фазы Ф с потенциалом позволяет прямо связать ее с величинами, характеризующими распределение фононов в жидкости. Для этого рассматриваем а тем самым и Ф как вторично-квантованный оператор, выразив его, согласно (24, 10), через операторы рождения и уничтожения фононов:

(невозмущенную плотность жидкости записываем в виде , где — плотность числа частиц, индекс 0 опускаем). Согласно сказанному выше, это означает, что оператор макроскопической величины S, т. е. длинноволновая часть оператора Ф, может быть представлена в виде

где - плотность частиц конденсата.

Прежде всего воспользуемся этой формулой для вычисления распределения «надконденсатных» частиц бозе-жидкости по импульсам (при малых значениях последних). В одночастичной матрице плотности при больших расстояниях можно воспользоваться длинноволновым выражением -оператора (27,2):

где среднее берется по состоянию жидкости при данной температуре. Ввиду малости флуктуаций следует разложить это выражение по степеням Ф, сохраняя лишь первые неисчезающие (квадратичные) члены. Учитывая, что получим

Третий член стремится к нулю при и дает искомую надконденсатную часть матрицы плотности (второй же член в однородной жидкости вообще не зависит от и дает поправку к плотности конденсата, которая будет вычислена ниже несколько иным способом). Используя (27,1), приводим надконденсатную часть к виду

где

Переходя от суммирования к интегрированию, имеем

Это выражение, разумеется, справедливо только для вклада от малых велико по сравнению с межатомными расстояниями). Подынтегральное выражение в (27,5) прямо определяет распределение частиц по импульсам

При эта формула дает

(J. Gavoret, Ph. Nozieres, 1964), а при

Теперь можно определить температурную зависимость плотности конденсата. По определению, имеем

Если прямо подставить в эту формулу (27,6), интеграл разойдется из-за нулевых колебаний. Это обстоятельство связано с неприменимостью (27,6) при больших и означает лишь невозможность вычислить таким способом значение конденсатной плотности при которое надо считать здесь заданной величиной. Для определения же искомой температурной зависимости надо вычесть из ее значение при после чего интеграл уже будет сходиться. В результате получим

При вычислении мы пренебрегли температурной зависимостью полной плотности жидкости; это пренебрежение законно, поскольку тепловое расширение жидкости (связанное с возбуждением фононов) пропорционально более высокой степени температуры — (ср. V § 67).

Наконец, сделаем некоторые замечания о методически интересном вопросе о двумерной бозе-жидкости. В этом случае зависящая от температуры часть интеграла (27,9) логарифмически расходится в области малых , где формула для должна была бы быть верна. Это означает, что в двумерном случае неверно основное предположение о существовании конденсата при отличных от нуля температурах; конденсат в этом случае может существовать лишь при Положение здесь аналогично ситуации с двумерными кристаллами (см. V § 137). Подобно тому как в последних флуктуации смещения атомов размывают решетку, так флуктуации фазы уничтожают конденсат. Формальная аналогия между двумя системами состоит в том, что в обоих случаях энергия зависит от величин, которые могут входить в нее лишь под знаком производных. В первом случае это векторы смещения атомов, которые не могут сами войти в энергию ввиду инвариантности последней по отношению к смещениям системы как целого. Во втором случае это фаза конденсатной волновой функции, которая не может сама войти в энергию ввиду своей неоднозначности. Тот факт, что энергия зависит лишь от градиентов этих величин и приводит в конечном счете к расходимости флуктуаций.

Далее, мы видели в V § 138, что слабая (логарифмическая) расходимость флуктуаций приводит в двумерном кристалле к медленному (степенному) убыванию корреляционной функции в системе. Аналогично, в двумерной бозе-системе матрица плотности (27,3) убывает при а не стремится к постоянному пределу как при наличии конденсата, но лишь по степенному закону. Заметим, что тем самым такая система качественно отличается от обычной жидкости, так что и в двумерном случае возможен фазовый переход второго рода между обычной жидкостью с экспоненциальным убыванием и жидкостью со степенным законом убывания.