§ 2. Взаимодействие квазичастиц

Являясь функционалом от функции распределения квазичастиц, их энергия меняется при изменении этой функции. Изменение энергии при малом отклонении функции распределения от «ступеньки» (1,10) должно иметь вид

или, в более символическом виде,

где означает взятие следа по паре спиновых индексов, отвечающих импульсу . Функцию можно назвать функцией взаимодействия квазичастиц (в ферми-газе ). По своему определению эта функция представляет собой вторую вариаци онную производную от полной энергии жидкости Е и поэтому симметрична по переменным и соответствующим им парам спиновых индексов:

С учетом изменения (2,1) энергия квазичастиц вблизи поверхности ферми-сферы дается суммой

В частности, для термодинамически равновесных распределений второй член в формуле (2,3) определяет зависимость энергии квазичастицы от температуры.

Отклонение заметно отлично от нуля только в узком слое значений вблизи поверхности ферми-сферы, и в таком же слое находятся импульсы реальных квазичастиц. Поэтому функцию в формулах (2,1), (2,3) фактически можно заменить ее значением на самой этой поверхности, т. е. положить так что f будет зависеть только от направлений векторов .

Спиновая зависимость функции связана как с релятивистскими эффектами (спин-спиновое и спин-орбитальное взаимодействия), так и с обменным взаимодействием. Последнее наиболее существенно. С его учетом функция взаимодействия квазичастиц имеет (на ферми-поверхности) вид

где — матрицы Паули, действующие на соответствующие (т. е. отвечающие переменным ) спиновые индексы, а F и -две функции угла между . Вид этого выражения связан с характерным свойством обменного взаимодействия: оно не зависит от ориентации полного момента системы в пространстве; поэтому операторы двух спинов могут входить в него лишь в виде скалярного произведения. Определенные, согласно (2,4), функции F и G безразмерны. Введенный для этой цели в левой стороне (2,4) множитель представляет собой число состояний квазичастицы на ферми-поверхности, отнесенное к единичному интервалу энергий:

или

Поскольку след матриц Паули равен нулю, то после взятия следа второй член в (2,4) исчезает, так что не зависит уже и от а. Такая независимость имеет место в действительности также и при учете спин-орбитального и спин-спинового взаимодействий.

Дело в том, что скалярная функция могла бы содержать оператор спина лишь в виде произведения двух аксиальных векторов s и (выражения же, квадратичные по компонентам s, можно не рассматривать, так как для спина 1/2 они сводятся к членам, линейным по s и не содержащим s вовсе). Но это произведение не инвариантно по отношению к обращению времени и потому не может войти в инвариантную величину

Введем удобное для дальнейшего обозначение

Из выражения (2,4) имеем

Функция взаимодействия квазичастиц удовлетворяет определенному интегральному соотношению, следующему из принципа относительности Галилея. Прямым следствием этого принципа является совпадение импульса единицы объема жидкости с плотностью потока ее массы. Скорость квазйчастицы есть так что поток квазичастиц дается интегралом

Поскольку число квазичастиц в жидкости совпадает с числом истинных частиц, то ясно, что полный перенос массы квазичастицами получится умножением потока их числа на массу истинной частицы. Таким образом, получим следующее равенство:

(2,8)

Положив варьируем обе стороны (2,8). Использовав (2,1) и обозначение из (2,6), получим

где (во втором интеграле заменено обозначение переменных и произведено интегрирование по частям). Ввиду произвольности отсюда следует искомое соотношение

Для ступенчатой функции

производная сводится к -функции:

Подставив в (2,9) функцию из (1,12), заменив затем везде импульср значением на ферми-поверхности и умножив обе стороны равенства на получим следующее соотношение между массой истинных частиц и эффективной массой квазичастиц:

где -элемент телесного угла в направлении р. Если подставить сюда для ) выражение (2,7), то это равенство принимает вид

где черта означает усреднение по направлениям (т. е. интегрирование по ).

Вычислим еще сжимаемость ферми-жидкости (при абсолютном нуле), т. е. величину Плотность жидкости так что

Для вычисления этой производной удобно выразить ее через производную от химического потенциала. Заметив, что последний зависит от N и V только в виде отношения а также, что при дифференциал имеем

так что

Поскольку то изменение при изменении числа частиц на равно

Первый член в этом выражении — изменение величины благодаря изменению функции распределения. Второй же член связан с тем, что изменение полного числа частиц меняет также и значение предельного импульса: в силу (1,1) имеем . Поскольку заметно отлично от нуля лишь при , то, заменив в интеграле функцию ее значением на ферми-поверхности, можем написать

Подставив это выражение в (2,14) и введя согласно получим

Наконец, взяв из (2,11) и снова учтя (1,1), получим окончательно

С функцией из (2,7) и с использованием (2,12) это выражение можно привести к виду

Функция f должна удовлетворять определенным условиям, возникающим из требования устойчивости основного состояния жидкости. Последнему отвечает заполнение всех состояний квазичастиц внутри ферми-сферы, и энергия этого состояния должна быть минимальна по отношению к произвольной малой деформации сферы. Не приводя всех вычислений, укажем здесь лишь их окончательный результат. Его удобно сформулировать, разложив функции из (2,4) по полиномам Лежандра, т. е. представив их в виде

(при таком определении коэффициентов они совпадают со средними значениями произведений ).

Тогда условия устойчивости записываются в виде неравенств

Сравнив условие (2,19) при с выражением (2,12) для эффективной массы, убеждаемся в положительности последней. Условие же (2,19) при обеспечивает положительность выражения (2,17).