§ 42. Температурные гриновские функции сверхтекучего ферми-газа

В §. 41 был определен энергетический спектр сверхтекучего ферми-газа путем использования обычных, «временных», гриновских функций. Однако для решения более сложных задач (и прежде всего для исследования свойств системы во внешних полях) более удобен математический аппарат температурных гриновских функций (А. А. Абрикосов, Л. П. Горьков, 1958).

Температурная функция определяется той же формулой (37,3), что и для нормального ферми-газа. Температурные же функции и (соответствующие временным функциям и ) определим аналогичными формулами

Спиновая зависимость этих функций отделяется (аналогично (41,5)) в виде множителей

(42,2)

Как и функции зависят только от разности и удовлетворяют соотношениям (37,6) (с верхним знаком):

Ряды Фурье по для этил функций содержат, следовательно, только нечетные «частоты» (37,8а):

Мацубаровские -операторы при совпадают с гейзенберговскими при

Сравнив определения функций с определениями найдем поэтому, что

где под надо понимать конденсатную волновую функцию, усредненную по Гиббсу, т. е. выраженную через температуру системы.

Покажем, каким образом с помощью температурных функций Грина можно снова получить энергетический спектр сверхтекучего ферми-газа при отличных от нуля температурах.

Уравнения для температурных функций выводятся в точности аналогично выводу уравнений (41,12-13), причем вместо дифференцирования по t производится дифференцирование по , а вместо уравнений (41,8-9) используются уравнения, отличающиеся от (41,8-9) заменой Как и в (41,11), из среднего значения произведения четырех мацубаровских -операторов выделяются члены, содержащие матричные элементы для переходов с изменением числа частиц на 2. В результате получим уравнения

После перехода к фурье-компонентам эти уравнения принимают вид

Решение этих уравнений:

где снова (причем это решение определено однозначно и никаких -функций как это было для функций вообще не содержит).

Условие, определяющее энергетическую щель в спектре, получается теперь из равенства

или, после подстановки (42,8):

Суммирование по s осуществляется формулой

(42,10)

и приводит к равенству

совпадающему с (39,15).