§ 74. Магноны в антиферромагнетике

Антиферромагнетики характерны тем, что магнитные моменты всех электронов в пределах каждой элементарной ячейки кристаллической решетки взаимно компенсируются (в состоянии равновесия в отсутствие магнитного поля). Плотность магнитного момента распределена, строго говоря, по всему объему ячейки. Но в кристаллах антиферромагнитных диэлектриков с хорошей точностью можно считать, что фактически эта плотность локализована у отдельных атомов, каждому из которых можно приписать определенный магнитный момент. Эти моменты, повторяясь периодически во всех ячейках, создают магнитные подрешетки антиферромагнетика.

Различные антиферромагнетики очень разнообразны посвоей структуре. Вопрос об их магнитном энергетическом спектре мы рассмотрим на типичном примере кристалла с двумя магнитными атомами, расположенными в эквивалентных точках каждой элементарной ячейки (т. е. в точках, переходящих друг в друга при каких-либо преобразованиях кристаллографической симметрии кристалла). Средние плотности магнитных моментов, образованных этими атомами подрешеток, обозначим через и введем два вектора

В основном состоянии антиферромагнетика , между тем как у ферромагнетика было бы . Подчеркнем существенную разницу между основными состояниями в обоих случаях. В обменном приближении, в основном состоянии ферромагнетика проекции спинов всех магнитных атомов имеют определенные (наибольшие возможные) значения чему соответствует номинальное значение намагниченности М. В основном же состоянии антиферромагнетика намагниченности подрешеток заведомо не могут иметь своих номинальных значений, так как суммарные проекции спинов каждой из подрешеток в отдельности не являются (даже в обменном приближении) сохраняющимися величинами и потому не имеют (в стационарном состоянии) определенных значений. Тем более не имеют определенных значений проекции спина отдельных атомов.

Вид макроскопических «уравнений движения» векторов L и М устанавливается аналогично тому, как это было сделано в § 69 для ферромагнетика. Условие отсутствия диссипации приводит к требованию, чтобы в силу уравнений движения выполнялось, равенство

где «эффективные поля» и определяются выражением

для изменения свободной энергии при варьировании L и М в равновесии .

В обменном приближении искомые уравнения должны быть инвариантны относительно одновременного поворота всех магнитных моментов относительно кристаллической решетки. Вместе с кристаллографической эквивалентностью положений двух магнитных атомов в ячейке отсюда следует также и необходимость инвариантности относительно перестановки М и , т. е. относительно преобразования . Ввиду инвариантности свободной энергии при этом преобразовании также и .

Рассматривая малые колебания магнитных моментов, положим где — малые величины. В линейном приближении уравнения движения, удовлетворяющие поставленным условиям, имеют вид

где v - единичный вектор в равновесном направлении вектора преобразование означает, что и Здесь учтено, что величины и обращающиеся в нуль в равновесии, сами линейны по 1 и и что v — единственный имеющийся в нашем распоряжении постоянный вектор. По аналогии с § 69 коэффициент у можно было бы записать как в отличие от ферромагнетика, однако, теперь даже в пренебрежении релятивистскими эффектами. При монохроматических колебаниях , и тогда определяемые уравнениями (74,4) векторы l и m перпендикулярны v. В рассматриваемом приближении это значит, что вектор L прецессирует вокруг направления v с постоянной абсолютной величиной

Для определения эффективных полей НЛ и надо установить вид свободной энергии кристалла. При этом надо ограничиться членами второго порядка по малым величинам 1 и а для членов с производными от этих величин по координатам — не выше второго порядка по волновому вектору колебаний, длина волны которых предполагается (как и в § 70) большой по сравнению с постоянной решетки. В обменном приближении свободная энергия должна быть инвариантна по отношению к одновременным поворотам всех магнитных моментов, а также и по отношению к изменению знака L.

Выражение, удовлетворяющее всем поставленным условиям, имеет вид

где ось z направлена вдоль v (так что изменение знака v означает также и изменение знака коэффициент в соответствии с тем, что в равновесии должно быть Член с здесь отсутствует, так как его наличие означало бы зависимость энергии от направления вектора в кристалле, которая в обменном приближении отсутствует. Член с суммой сводится к полной производной и исчез бы при интегрировании по объему. Наконец, члены, квадратичные по производным не надо учитывать, так как они заведомо малы по сравнению с членом с Варьируя интеграл (74,5) (и произведя в нем интегрирования по частям), получим

Для плоской монохроматической спиновой волны уравнения движения (74,4) дают теперь:

где снова (как и в § 70) , — единичный вектор в направлении к. Умножив первое из этих уравнений векторно на v, получим

подстановка же этого выражения во второе уравнение сразу приводит к следующему закону дисперсии спиновых волн:

Таким образом, - частота спиновых волн, а тем самым и энергия магнонов антиферромагнетике в обменном приближении пропорциональны k, а не , как в ферромагнетике.

Уравнения (74,7) устанавливают однозначную связь между и но обе компоненты (в плоскости, перпендикулярной v) остаются произвольными. Это значит, что спиновые волны в рассматриваемом антиферромагнетике имеют два независимых направления поляризации.

Для учета магнитной анизотропии надо сделать более конкретные предположения о характере симметрии кристалла.

Пусть кристалл имеет одноосную симметрию, причем равновесное направление L совпадает с осью симметрии.

Из. (74,8) видно, что вектор в спиновой волне мал по сравнению с -содержит лишнюю степень малого волнового вектора к. В таком же смысле эффективное поле . По этой причине достаточно учесть анизотропию, связанную с вектором l. При сделанных предположениях плотность этой энергии причем Ее учет приводит к появлению дополнительного члена в эффективном поле которое для плоской волны становится равным

(74,10)

Отсюда видно, что с учетом анизотропии закон дисперсии спиновых волн получается из (74,9) заменой на . В результате при энергия магнонов будет стремится не к нулю, а к конечной величине

(74,11)

(Ch. Kittet, 1951). Обратим внимание на то, что щель в спектре оказывается пропорциональной корню из константы анизотропии (а не ее первой степени, как в (70,12)). Поскольку малость релятивистских эффектов выражается относительной малостью константы анизотропии, то в антиферромагнетике эти эффекты, вообще говоря, существеннее, чем в ферромагнетике.

Магнонный вклад во внутреннюю энергию антиферромагнетика вычисляется по формуле (71,3). В области температур ( - температура исчезновения антиферромагнетизма, точка Нееля) можно пользоваться спектром (74,9). В одноосном кристалле

Вычисление интеграла (71,3) приводит к следующему результату для магнонного вклада в теплоемкость:

(74,12)

При температурах же магнонный вклад в термодинамические величины экспоненциально мал.