§ 67. Электроны и дырки в полупроводниках

Энергетический спектр чистых (или, как говорят, собственных) полупроводниковых кристаллов отличается от спектра диэлектриков только в количественном отношении — меньшими значениями щели , в результате чего при обычных темературах в полупроводнике имеется значительная (по сравнению с диэлектриком) плотность носителей тока. Ясно, что это различие условно, и к тому же зависит от интересующей нас области температур.

В примесных (или легированных) полупроводниках дополнительным источником электронов или дырок являются атомы примесей, для которых энергетическая щель по отношению к отдаче электрона в решетку (донорная примесь) или его захвата из решетки (акцепторная примесь) оказывается меньше, чем энергетическая щель в основном спектре.

Рассмотрим подробнее вопрос о связи между величиной щели А и плотностью электронов проводимости и дырок в полупроводнике (или диэлектрике).

Попарное возникновение или исчезновение электрона и дырки можно рассматривать, с термодинамической точки зрения, как «химическую реакцию» (основное состояние кристалла играет роль «вакуума»). По общим правилам (см. V § 101) условие термодинамического равновесия этой реакции записывается в виде

где - химические потенциалы электронов и дырок. Ввиду сравнительно небольшой плотности электронов и дырок в полупроводнике (при ) распределение Ферми для них с большой точностью сводится к распределению Больцмана, так что электроны и дырки образуют классический газ. Из условия (67,1) следует тогда обычным образом (см. V § 101) закон действующих масс, согласно которому произведение равновесных плотностей

где справа стоит функция температуры, зависящая только от свойств основной решетки, на атомах которой и происходит рождение и уничтожение электронов и дырок; эта функция не зависит от наличия или отсутствия примесей. Вычислим функцию приняв для определенности, что энергии электронов и дырок являются квадратичными функциями квазиимпульса (66,1).

Распределение электронов (в единице объема) по квазиимпульсам дается распределением Больцмана

(множитель 2 учитывает два направления спина). Переход к распределению по энергиям осуществляется заменой

где - главные значения тензора эффективных масс .

Полное число электронов в единице объема есть, следовательно,

(в виду быстрой сходимости интегрирование можно распространить до бесконечности). Вычислив интеграл, находим

Аналогичным образом, получим

Наконец, перемножив оба выражения и учтя (67,1), получим искомый результат

В собственном полупроводнике, где все электроны и дырки возникли парами:

Приравняв же выражения (67,6) и (67,3), найдем химический потенциал электронов

Что касается вклада электронов и дырок в термодинамические величины полупроводника, то при он экспоненциально мал. Учитывая, что на рождение одной пары электрон — дырка требуется энергия, близкая к , имеем для электроннодырочного вклада во внутреннюю энергию из (67,6). Этой величиной можно обычно пренебречь по сравнению с решеточным вкладом в энергию кристалла.