§ 4. Нулевой звук

Неравновесные состояния ферми-жидкости описываются функциями распределения квазичастиц, зависящими не только от импульсов, но также и от координат и времени. Эти функции подчиняются кинетическому уравнению вида

где — так называемый интеграл столкновений, определяющий изменение числа квазичастиц в данном элементе фазового объема, обусловленное их столкновениями друг с другом.

Полная производная по времени в (4,1) учитывает как явную зависимость от t, так и неявную зависимость, связанную с изменением координат, импульса и спиновых переменных квазичастицы согласно ее уравнениям движения. Специфика ферми-жидкости состоит в том, что поскольку энергия квазичастицы является функционалом от функции распределения, то в неоднородной жидкости вместе с зависит от координат также и .

Для распределений , слабо отличающихся от равновесного пишем

При этом энергия квазичастицы где -энергия, отвечающая равновесному распределению, а дается выражением (2,1), так что

В отсутствие внешнего магнитного поля от спина не зависят.

Явная зависимость от времени дает в член

Зависимость же через координаты и импульс дает члены

Роль гамильтоновой функции квазичастицы играет ее энергия . В силу уравнений Гамильтона имеем

Поэтому имеем, с точностью до членов первого порядка по

Наконец, изменение со временем функции как оператора по спиновым переменным дается, по общим правилам квантовой механики, коммутатором

Однако при не зависящих от спина члены первого порядка по в этом коммутаторе отсутствуют.

Собирая написанные члены, получим уравнение

Прежде, чем приступить к использованию кинетического уравнения, остановимся на условиях его применимости. Использовав классические (по координатам и импульсу) уравнения, мы тем самым предполагали движение квазичастиц квазиклассическим; это же предположение лежит по существу уже в основе самого описания жидкости функцией распределения, зависящей одновременно от координат и импульсов квазичастиц. Условие квазиклассичности состоит в малости де-бройлевской длины волны квазичастиц по сравнению с характерной длиной L, на которой существенно меняется функция . Введя вместо L «волновой вектор» неоднородности запишем это условие в виде

Частота со изменения функции распределения, устанавливающаяся при заданном k, порядка величины и автоматически удовлетворяет условию

Соотношение же между и температурой Т может быть любым. Если то роль ширины области размытости функции распределения играет именно величина тогда (4,7) есть обязательное для применимости всей теории условие, обеспечивающее малость квантовой неопределенности энергии квазичастицы (связанной с их столкновениями) по сравнению с

Применим теперь кинетическое урявнение к исследованию колебательных движений ферми-жидкости.

При низких, но отличных от нуля температурах в ферми-жидкости происходят взаимные столкновения квазичастиц, причем время их свободного пробега Характер распространяющихся в жидкости волн существенно зависит от величины произведения сот.

При (что фактически эквивалентно условию малости длины пробега квазичастицы по сравнению с длиной волны ) столкновения успевают установить термодинамическое равновесие в каждом (малом по сравнению с ) элементе объема жидкости. Это значит, что мы имеем дело с обычными гидродинамическими звуковыми волнами, распространяющимися со скоростью . Поглощение звуковых волн при мало, но при увеличении оно возрастает и при становится очень сильным, так что распространение звуковых волн становится невозможным.

При дальнейшем увеличении когда уже в ферми-жидкости снова становится возможным распространение волн, имеющих, однако, другой физический характер. В этих колебаниях столкновения квазичастиц не играют роли и термодинамическое равновесие в каждом элементе объема не успевает устанавливаться. Процесс можно рассматривать как происходящий при абсолютном нуле температуры. Эти волны называют нулевым звуком.

Согласно сказанному выше, при в кинетическом уравнении можно опустить интеграл столкновений; тогда

где — скорость квазичастиц, вычисленная по невозмущенной энергии где — единичный вектор в направлении ); индекс здесь и ниже опускаем.

При равновесная функция распределения представляет собой ступенчатую функцию , обрывающуюся у предельного импульса

Ее производная

Предполагая, что зависимость в волне от времени и координат дается множителем будем искать решение кинетического уравнения в виде

Тогда уравнение (4,8) с из (4,3) принимает вид

где — единичные векторы в направлениях , а интегрирование производится по направлениям .

Рассмотрим колебания (нулевой звук), не затрагивающие спиновых характеристик жидкости. Это значит, что от спиновых переменных не зависит не только равновесная функция распределения, но и ее «возмущение» . В такой волне изменение функции распределения при колебаниях сводится к деформации граничной ферми-поверхности (сферы в невозмущенном распределении), остающейся при этом резкой границей между заполненными и незаполненными состояниями квазичастиц. Функция же представляет собой величину смещения (в единицах энергии) этой поверхности в заданном направлении .

Поскольку не зависит от спиновых переменных, то операция в (4,10) применяется только к функции Написав последнюю в виде (2,4), будем иметь Таким образом, оператор а выпадает вовсе из уравнения, принимающего теперь вид

Выберем направление k в качестве полярной оси, и пусть углы определяют направление n. Введя также скорость распространения волны и обозначение напишем окончательно полученное уравнение в виде

Это интегральное уравнение определяет, в принципе, скорость распространения волн и функцию в них. Сразу же отметим, что для незатухающих колебаний (которые здесь нас только и интересуют) величина s должна превышать 1, т. е. должно быть

Происхождение этого неравенства можно понять, переписав (4,12). в виде

где вместо v введена другая неизвестная функция При подынтегральное выражение имеет полюс в точке и для придания интегралу смысла этот полюс должен быть обойден по определенному правилу в плоскости комплексного переменного . Этот обход вносит в интеграл мнимую часть, в результате чего приобретает мнимую часть также и частота со (при заданном вещественном k), что и означает затухание волны. Физический смысл равенства (отвечающего полюсу) состоит в том, что это есть условие черенковского излучения волн нулевого звука квазичастицами.

Рассмотрим в качестве примера случай, когда функция сводится к постоянной (обозначим ее ). Интеграл в правой стороне уравнения (4,12) не зависит при этом от углов Поэтому искомая функция v имеет вид

(4,14)

Ферми-поверхность приобретает, таким образом, форму поверхности вращения, вытянутой вперед по направлению распространения волны и сплюснутой в обратном направлении. Эта анизотропия является проявлением неравновесности состояния жидкости в каждом элементе ее объема: в равновесии все свойства жидкости должны быть изотропными и тем самым ферми-поверхность — сферической. Укажем для сравнения, что обычной звуковой волне соответствует сферическая ферми-поверхность колеблющегося радиуса (граничный импульс колеблется вместе с плотностью жидкости), смещенная как целая на величину, связанную со скоростью движения жидкости в волне; соответствующая функциям имеет вид .

Для определения скорости распространения волны нулевого звука «о подставляем (4,14) в (4,12) и находим

Произведя интегрирование, получим уравнение, определяющее в неявном виде скорость по заданной величине

Функция в левой стороне уравнения убывает от до 0 при изменении s от 1 до оставаясь всегда положительной. Отсюда следует, что рассматриваемые волны могут существовать только при Подчеркнем, что возможность распространения нулевого звука зависит, таким образом, от свойств взаимодействия квазичастиц в ферми-жидкости. При найдем из (4,15), что s стремится к 1 по закону

Этот случай имеет более общее значение, чем формула (4,15) (предполагающая ): он соответствует нулевому звуку в почти идеальном ферми-газе при произвольном виде функции Действительно, почти идеальному газу соответствует малая по абсолютной величине функция F (b). Из уравнения (4,12) видно, что при этом s будет близким к 1, а функция -заметно отличной от нуля лишь при малых углах 0. На этом основании, рассматривая лишь область малых углов, можно заменить в интеграле в правой стороне (4,12) функцию ее значением при (при также и ). В результате мы снова вернемся к формулам (4,14) и (4,16) с заменой константы на Отмётим, что в слабо неидеальном газе скорость нулевого звука превышает скорость обычного звука в раз. Действительно, для первой имеем а для второй находим из формулы (2,17) (пренебрегая в ней F и положив ),

В общем случае произвольной зависимости решение уравнения (4,12) неоднозначно. Оно, в принципе, допускает существование различных типов нулевого звука, отличающихся друг от друга угловой зависимостью их амплитуды и распространяющихся с различными скоростями. При этом наряду с аксиально-симметричными решениями могут существовать и Асимметричные решения, в которых v содержит азимутальные множители где — целые числа (см. задачу). Отметим, что для всех таких решений интеграл т. е. объем, заключенный внутри ферми-поверхности, остается неизменным; это значит, что колебания происходят без изменения плотности жидкости.

Возможность распространения волн в ферми-жидкости при абсолютном нуле означает, что ее энергетический спектр может содержать ветвь, отвечающую элементарным возбуждениям с импульсом и энергией кванты нулевого звука». Тот факт, что нулевой звук (с любым заданным к) может иметь произвольную (малую) интенсивность, в терминах элементарных возбуждений означает, что последние могут заполнять свои квантовые состояния в любом числе; другими словами, они подчиняются статистике Бозе и образуют, как говорят, бозевскую ветвь спектра ферми-жидкости. Подчеркнем, однако, что в рамках теории Ландау было бы неправильным вводить соответствующие этой ветви поправки в термодинамические величины ферми-жидкости, поскольку они содержат более высокие степени температуры ( в теплоемкости), чем уже первые поправки к изложенной приближенной теории.

Вопрос о поглощении нулевого звука требует рассмотрения столкновений квазичастид и не относится к содержанию этого тома.