§ 30. Вихревая нить в почти идеальном бозе-газе

Как уже упоминалось, толщина самой вихревой нити в жидкости измеряется атомными расстояниями. Исключение в этом отношении представляет, однако, случай почти идеального бозе-газа. Здесь «сердцевина» вихревой нити, в которой свойства среды существенно изменены, имеет (как мы увидим ниже) макроскопическую толщину, и ее структура может быть описана макроскопическим образом (В. Л. Гинзбург, Л. П. Питаевский, 1958; Л. П. Питаевский, 1961; Е. P. Gross, 1961).

Рассмотрим слабо неидеальный газ при абсолютном нуле температуры. В таком газе почти все его частицы находятся в конденсатном состоянии. В терминах -операторов это значит, что «надконденсатная» часть оператора (F) мала по сравнению с его средним значением, т. е. по сравнению с конденсатной волновой функцией S. Если пренебречь этой малой частью вовсе, то функция Е будет удовлетворять тому же «уравнению Шредингера» (7,8), которое имеет место для полного оператора Ф. С учетом лишь парных взаимодействий оно имеет вид (для бесспиновых частиц)

Считая функцию мало меняющейся на атомных расстояниях, мы можем вынести ее (заменив на ) из-под знака интеграла, который сводится тогда к Подставив также значение (см. (25,6); n — невозмущенное значение плотности числа частиц в газе), получим уравнение

В стационарном состоянии Е не зависит от времени.

Прямолинейной вихревой нити соответствует решение вида

где — расстояние до оси вихря и полярный угол вокруг нее. Фаза этой функции отвечает значению циркуляции (29,7).

Рис. 4.

Квадрат 1312 есть плотность числа частиц в конденсате; в рассматриваемом приближении она совпадает с полной плотностью газа. При последняя должна стремиться к заданному значению , а функция соответственно к 1.

Введя безразмерную переменную получим для функции уравнение

На рис. 4 показано решение, полученное из (30,4) численным интегрированием. При оно обращается в нуль пропорционально а при стремится к 1 по закону

Параметр определяет порядок величины радиуса «сердцевины» вихря. Введя вместо длину рассеяния, согласно найдем, что

где - газовый параметр. Этот радиус, таким образом, действительно велик по сравнению с межатомными расстояниями, если газовый параметр достаточно мал.