§ 12. Ф-операторы в представлении взаимодействия

Гриновскую функцию системы взаимодействующих частиц нельзя, разумеется, вычислить в общем виде. Существует, однако математическая техника (подобная диаграммной технике квантовой теории поля), позволяющая вычислять ее в виде ряда по степеням энергии взаимодействия частиц. При этом каждый член ряда выражается через функции Грина системы свободных частиц и оператор взаимодействия.

Введем, наряду с гейзенберговским, еще и другое представление операторов—представление, в котором их зависимость от времени определяется не истинным гамильтонианом системы

(-оператор взаимодействия), а гамильтонианом свободных частиц :

Операторы и волновые функции в этом представлении (так называемое представление взаимодействия) будем отличать индексом 0. Выразив функцию Грина через операторы (вместо гейзенберговских ), мы тем самым сделаем первый шаг к достижению поставленной цели выражению G через и V.

Обозначим в этом параграфе буквой (или ) волновые функции в «пространстве чисел заполнения» (в отличие от координатных волновых функций Y или ); на эти функции действуют вторично-квантованные операторы. Пусть — такая функция в шредингеровском представлении; ее зависимость от времени определяется волновым уравнением

В гейзенберговском представлении, где вся временная зависимость перенесена на операторы, волновая функция системы Ф вообще не зависит от времени: .

В представлении же взаимодействия волновая функция зависит от времени, но эта зависимость связана только со взаимодействием частиц в системе и определяется уравнением

где

— оператор взаимодействия в том же представлении (в операторах вида (7,6-7) переход к этому представлению сводится просто к замене на ). Уравнение (12,3) легко получить, заметив, что преобразованию операторов, согласно (12,1), отвечает преобразование волновых функций согласно

(см. III § 12). Дифференцируя это выражение с учетом (12,2), получим (12,3).

В силу (12,3) значения в два бесконечно близких момента времени связаны друг с другом равенством

Соответственно значение в произвольный момент t может быть выражено через значение в некоторый начальный момент как

где

причем сомножители в этом произведении расположены, очевидно, справа налево в порядке возрастания времен подразумевается предел произведения по всем бесконечно малым интервалам между и t. Если бы было обычной функцией, то этот предел сводился бы просто к

Но такое сведение основано на коммутативности множителей, взятых в различные моменты времени, подразумевающейся при переходе от произведения в (12,7) к суммированию в показателе. Для оператора такой коммутативности нет и сведение к обычному интегралу невозможно.

Вместо этого можно записать (12,7) в символическом виде

где - символ хронологического расположения множителей в той же последовательности, что в (12,7), т. е. справа налево от меньших времен к большим.

Оператор S унитарен и обладает очевидными свойствами:

Для упрощения дальнейших рассуждений сделаем формальное предположение (не отражающееся на окончательных результатах), что взаимодействие адиабатически «включается» от к конечным временам и адиабатически «выключается» при . Тогда при до включения взаимодействия, волновая функция совпадаете гейзенберговской функцией . Положив в получим

(12,10)

Установив, таким образом, связь между волновыми функциями в обоих представлениях, мы устанавливаем тем самым и закон преобразования операторов, в том числе операторов:

(12,11)

В силу унитарности S по такому же закону преобразуются и операторы

Выразим теперь функцию Грина через -операторы в представлении взаимодействия. Пусть ; тогда

Согласно (12,9) имеем

Подставляя в. предыдущее выражение, получим

Понимая операторы S как произведения (12,7), мы видим, что все множители в усредняемом выражении, начиная со второго, расположены в хронологическом порядке справа налево от до Поэтому можно написать

где обозначено

Вычисления при отличаются от произведенных лишь обозначениями, и окончательный результат (12,12-13) справедлив при любых

Произведенное преобразование не зависит от того, по какому состоянию системы подразумевается усреднение. Но если усреднение производится по основному состоянию (как в (12,12)), то преобразование может быть продвинуто еще и дальше. Для этого заметим, что адиабатическое включение или выключение взаимодействия, как всякое адиабатическое возмущение, не может вызвать перехода с изменением энергии квантовой системы (см. III § 41). Поэтому система, находившаяся в невырожденном состоянии (каковым и является основное состояние), в этом состоянии и остается. Другими словами, действие оператора S на волновую функцию должно сводиться к умножению на (несущественный для состояния) фазовый множитель среднее значение S в основном состоянии: . Точно так же . Таким образом, окончательно получаем следующую формулу для функции Грина, выраженной через операторы в представлении взаимодействия:

(12,14)

По смыслу этого представления усреднение в (12,14) производится по основному состоянию системы свободных частиц.

Действительно, свойства операторов совпадают со свойствами гейзенберговских операторов в отсутствие взаимодействий, а гейзенберговская волновая функция Ф от времени не зависит, так что совпадает со своим значением при когда взаимодействие отсутствует. Поэтому, в частности,

есть функция Грина системы невзаимодействующих частиц.