§ 26. Волновая функция конденсата

Как уже упоминалось в § 23, появление или исчезновение сверхтекучести в жидком гелии происходит путем фазового перехода второго рода. Такой переход всегда связан с каким-либо качественным изменением свойств тела. В случае -точки жидкого гелия это изменение может быть описано макроскопическим образом, как появление или исчезновение сверхтекучей компоненты жидкости.

С более глубокой, микроскопической точки зрения речь идет об определенных свойствах распределения частиц (истинных!) жидкости по импульсам. Именно в сверхтекучей жидкости, в отличие от несверхтекучей, конечная доля частиц (т. е. макроскопически большое их число) имеет строго равный нулю импульс; эти частицы образуют бозе-эйнштейновский конденсат (или просто конденсат) в импульсном пространстве. Напомним, что в идеальном бозе-газе при все его частицы переходят в конденсат (см. V § 62), а в почти идеальном газе почти все частицы. В общем же случае бозе-жидкости с сильным взаимодействием между частицами доля числа частиц, находящихся при в конденсате, отнюдь не близка к единице.

Покажем, каким образом свойство бозе-эйнштейновской конденсации формулируется в терминах -операторов.

Для идеального бозе-газа — системы невзаимодействующих бозонов — гейзенберговский -оператор записывается в явном виде как

Как было объяснено в § 25, можно пренебречь некоммутативностью операторов т. е. рассматривать их как классические величины. Другими словами, обычным числом оказывается часть -оператора (26,1), которую обозначим через :

Для формулировки этого свойства -операторов в общем случае произвольной бозе-жидкости заметим, что поскольку конденсате все равно находится макроскопически большое число частиц, то изменение этого числа на 1 по существу не меняет состояния системы; можно сказать, что в результате добавления (или отнятия) одной частицы в конденсат из некоторого состояния системы N частиц получается «то же самое» состояние системы N ± 1 частиц. В частности, основное состояние остается основным.

Обозначив посредством ту часть -операторов, (которая меняет на 1 число частиц в конденсате, имеем, таким образом, по определению,

где символы обозначают два «одинаковых» состояния, отличающихся только числом частиц в системе, a S — некоторое комплексное число. Эти утверждения справедливы строгав пределе Поэтому определение величины Е следует записать в виде

переход к пределу совершается при заданном конечном значении плотности жидкости

Если представить -операторы в виде

то остальная («надконденсатная») их часть переводит состояние в ортогональные ему состояния, т. е. матричные элементы

В пределе разница между состояниями исчезает вовсе, и в этом смысле величина S становится средним значением оператора Т по этому состоянию. Подчеркнем, что характерным для системы с конденсатом является именно конечность этого предела.

Равенствами (26,3) исчерпываются «операторные» свойства и их можно считать коммутативными с . В частности, операторы будут заменяться на S, Е (т. е. вести себя как классические величины) при любых усреднениях по основному состоянию. Подчеркнем снова, что такое приближение связано (ввиду макроскопичности числа частиц в конденсате) с пренебрежением лишь величинами относительного порядка малости .

Если временная зависимость волновых функций определяется по гамильтониану то величина S не зависит от времени. Действительно, матричный элемент пропорционален

Но показатель этой экспоненты обращается в нуль, поскольку (с точностью до величины — )

В однородной неподвижной жидкости S не зависит также и от координат и (при надлежащем выборе фазы этой комплексной величины) равно просто

где -число конденсатных частиц в единице объема жидкости. Действительно, есть оператор плотности числа частиц в конденсате, а среднее значение этого оператора есть как раз

Существование конденсата приводит к качественному отличию в свойствах матрицы плотности частиц бозе-жидкости по сравнению с матрицей плотности в обычной жидкости. В произвольном состоянии однородной бозе-жидкости матрица плотности определяется выражением

причем эта функция зависит лишь от разности (ср. (7,13)). Подставив сюда -операторы в виде (26,4) и учитывая свойства (26,3) и (26,5), получим

«Надконденсатная» матрица плотности стремится к нулю при матрица же плотности стремится при этом к конечному пределу Этим выражается существование в сверхтекучей жидкости «дальнего порядка», отсутствующего в обычных жидкостях, где всегда при . Это есть то свойство симметрии, которое отличает сверхтекучую фазу жидкости от несверхтекучей (В. Л. Гинзбург, Л. Д. Ландау, 1950).

Фурье-компонента матрицы плотности определяет распределение частиц жидкости по импульсам согласно формуле

(ср. (7,20)). Подставив сюда в виде (26,8), получим

(26,10)

Член с -функцией соответствует конечной вероятности частице иметь строго равный нулю импульс.

Если в жидкости происходит сверхтекучее движение, или если она находится в неоднородных и нестационарных внешних условиях (существенно меняющихся, однако, лишь на расстояниях, больших по сравнению с межатомными), то бозе-эйнштейновская конденсация по-прежнему имеет место, но уже нельзя утверждать, что она будет происходить в состояние Величина S, по-прежнему определяемая согласно (26,3), будет теперь функцией координат и времени, имеющей смысл волновой функции частицы в конденсатном состоянии. Она нормирована условием и потому может быть представлена в виде

(26,11)

Благодаря тому, что в конденсатном состоянии находится макроскопически большое число частиц, волновая функция этого состояния становится классической макроскопической величиной . Таким образом, в сверхтекучей жидкости [появляется новая характеристика макроскопических состояний, в том числе термодинамически равновесных.

Плотность потока, вычисленная по волновой функции (26,11), есть

где — масса частицы жидкости. По своему смыслу, это есть плотность макроскопического потока конденсатных частиц, и ее можно представить в виде , где — макроскопическая скорость этого движения. Из сравнения обоих выражений находим, что

(26,12)

Поскольку это движение может иметь место в термодинамически равновесном состоянии (характеризуемом величиной S), то оно бесдиссипативно, так что (26,12) определяет скорость сверхтекучего движения. Мы снова приходим, таким образом, К уже упомянутому в § 23 свойству сверхтекучего движения — его потенциальности.

При этом потенциал скорости оказывается совпадающим (с точностью до постоянного множителя) с фазой конденсатной волновой функции

(26,13)

Во избежание недоразумений подчеркнем, однако, что, хотя скорость конденсата и совпадает со скоростью сверхтекучей компоненты жидкости (и хотя конденсат и сверхтекучая компонента одновременно появляются в Х-точке), плотность конденсата и плотность сверхтекучей компоненты отнюдь не совпадают друг с другом. Не говоря уже о том, что отождествление этих двух величин никак не могло бы быть обосновано, его неправильность видна и из того, что при абсолютном нуле вся масса жидкости является сверхтекучей, между тем как отнюдь не все ее частицы находятся в конденсате.