§ 64. Электрон-фононное взаимодействие

До сих пор мы рассматривали электроны проводимости в кристалле, отвлекаясь от их взаимодействия с колебаниями решетки, т. е. с фононами. Это взаимодействие выражает тот факт, что деформация решетки изменяет поле, в котором движется электрон; это изменение поля называют деформационным потенциалом.

Электрон-фононное взаимодействие играет определяющую роль в кинетических явлениях в полупроводниках и металлах, но здесь нас будет интересовать только качественное влияние этого взаимодействия на энергетический спектр электронов. Для его изучения целесообразно отвлечься от усложнений, связанных с анизотропией решетки и ее микроскопической неоднородностью. Другими словами, рассматриваем среду как микроскопически однородную, изотропную жидкость, соответственно чему в ней возможны лишь продольные звуковые колебания.

В первом приближении по деформации потенциал, отвечающий такой упрощенной модели, представим в виде

где —переменная часть плотности среды (а — ее постоянное равновесное значение).

Функция убывает на длинах порядка межатомных расстояний а. Мы упростим выражение (64.1) еще дальще, заметив, что для взаимодействия с фононами с волновыми векторами эти расстояния можно считать равными нулю, т. е. положить , где - постоянная. Тогда . В квантовой теории, в представлении вторичного квантования, этот потенциал записывается как гамильтониан электрон-фононного взаимодействия

где операторы относятся к электронам, а — гейзенберговский оператор плотности, описывающий фононное поле; для свободных (не взаимодействующих с электронами) фононов он дается формулой (24,10).

В математическом аппарате гриновских функций в применении к электрон-фононному взаимодействию появляется наряду с гриновской функцией электронов с еще и фононная гриновская функция, определяемая как

причем хронологическое произведение раскрывается по правилу (31.2), отвечающему случаю бозонов. Для свободных фононов гриновская функция в импульсном представлении

(см. задачу к § 31; в промежуточных формулах полагаем ).

Рассматривая электрон-фононное взаимодействие как малое возмущение, можно построить основанную на операторе (64,2) диаграммную технику подобно тому, как это было сделано в § 13 для парного взаимодействия фермионов. Не повторяя заново всех рассуждений, сформулируем получающиеся правила составления диаграмм (в импульсном представлении).

Основными элементами диаграмм являются электронные (сплошные) и фононные (пунктирные) линии, каждой из которых приписывается определенный -импульс». Электронной линии с 4-импульсом Р ставится в соответствие множитель - гриновская функция свободных электронов.

Фононной линии с 4-импульсом К сопоставляется множитель — гриновская функция свободных фононов. В каждой вершинной точке диаграммы сходятся две сплошные и одна пунктирная линии; такой точке дополнительно сопоставляется множитель —

Так, первая поправка к электронной гриновской функции изображается диаграммой

которой отвечает аналитическое выражение

Первая поправка к фононной гриновской функции изображается диаграммой

или в аналитическом виде

(коэффициент 2 возникает от свертывания спиновых множителей: ; учтен также множитель — 1, связанный с наличием одной замкнутой фермионной петли — ср. § 13).

Покажем, что электрон-фононное взаимодействие в металле приводит к появлению «эффективного притяжения» между электронами вблизи ферми-поверхности. Оно может быть описано наглядно как результат испускания виртуального фонона одним и его поглощения другим электроном (J. Bardeen, 1950; Я. Froh-lich, 1950).

Рассмотрим диаграмму

изображающую рассеяние двух электронов, осуществляющееся через обмен виртуальными фононами; 4-импульсы , — химический потенциал электронов при совпадающий с граничной энергией . Этой диаграмме отвечает вершинная функция

или

причем

По порядку величины, импульсы электронов вблизи ферми-поверхности . Рассеянию электронов на угол отвечает импульс фонона и его энергия , где ( — дебаевская частота (для металлов ). С другой стороны, электрон не может отдать энергию большую, чем . Поэтому, если для обоих электронов , то заведомо

(64,11)

Учитывая смысл Г как амплитуды рассеяния (§ 16), мы видим, что ее знак соответствует притяжению между частицами. Подчеркнем, что этот результат относится лишь к электронам в сравнительно узком слое (ширины по энергии) импульсного пространства вблизи ферми-поверхности. Это обстоятельство было уже использовано в § 43 для установления величины параметра обрезания в теории сверхпроводимости металлов.