§ 24. Фононы в жидкости

При переходе от классической картины звуковых волн к квантовому представлению о фононах гидродинамические величины (плотность, скорость жидкости и т. п.) заменяются операторами, выражающимися через операторы уничтожения и рождения фононов. Выведем формулы, дающие эти выражения.

Напомним, что в классическом описании звуковой волны плотность жидкости испытывает малые колебания с частотами и волновыми векторами, связанными друг с другом соотношением Величиной того же порядка малости, что и переменная часть плотности — равновесное значение плотности), является скорость жидкости v. Движение жидкости в волне потенциально, т. е. может быть описано скалярным потенциалом скорости определяющим скорость согласно

Скорость и плотность связаны друг с другом уравнением непрерывности или

Энергия жидкости в звуковой волне дается интегралом

Первый член в подынтегральном выражении есть плотность кинетической, а второй — внутренней энергии жидкости; оба квадратичны по малым величинам v и .

Дальнейшую процедуру квантования можно было бы провести полностью аналогично тому, как это было сделано для фононов в твердых кристаллах (см. V § 72). Мы, однако, изберем здесь несколько иной путь, демонстрирующий некоторые поучительные методические моменты.

Рассмотрим сначала операторы плотности и скорости жидкости, выраженные через микроскопические переменные координаты частиц.

В классической теории плотность и плотность потока массы жидкости j могут быть представлены суммами

взятыми по всем частицам ( и - радиус-векторы и импульсы частиц); интегралы от этих функций по какому-либо объему дают полную массу и полный импульс жидкости в этом объеме. При переходе к квантовой теории эти функции заменяются соответствующими операторами. Оператор плотности имеет тот же вид

а оператор плотности потока

где — оператор импульса частицы.

Найдем правило коммутации между операторами и взятыми в точках ; при этом можно, для краткости, рассматривать всего по одному члену в суммах (24,4-5), поскольку операторы, соответствующие разным частицам, коммутативны. При раскрытии коммутатора операторы вида преобразуются следующим образом:

где в первом члене () означает просто градиент -функции; ввиду наличия множителя в этом члене можно писать в нем () вместо . В результате получим

(24,6)

Введем теперь вместо оператор скорости жидкости , согласно определению,

Правило коммутации операторов определяется требованием, чтобы для коммутатора получалось выражение (24,6). Легко проверить, что для этого надо положить

(при этом надо учесть очевидную коммутативность операторов ) Наконец, положив получаем правило коммутациии между операторами плотности и потенциала скорости

(вместо можно, конечно, писать здесь оператор переменной части плотности). Правило (24,7) аналогично правилу коммутации между координатой и импульсом частицы; в этом смысле величины играют в данном случае роль канонически сопряженных обобщенных «координат» и «импульсов».

Использовав выражения (24,4-5) для установления правила (24,7), напишем теперь операторы в представлении вторичного квантования (т. е. выразим их через операторы уничтожения и рождения фононов), потребовав при этом, чтобы они удовлетворяли правилу (24,7). Для этого пишем

с пока не определенными коэффициентами суммирование производится по всем значениям волнового вектора, пробегаемым для жидкости в большом, но конечном объеме Операторы с к удовлетворяют бозевским правилам коммутации

Напомним для дальнейших ссылок, что отличные от нуля матричные элементы этих операторов

где — числа заполнения фононных состояний.

В дальнейшем нам понадобится, однако, не шредингеровский оператор , а гейзенберговский .

Он получается из просто путем введения множителей с частотами в каждый член суммы

(ср. сказанное по этому поводу для операторов в начале § 9). Оператор же плотности должен быть связан с оператором соотношением (24,2) и поэтому дается такой же суммой с множителями вместо После этого множители надо определить так, чтобы выполнилось правило коммутации (24,7). В результате получаются следующие окончательные выражения:

Действительно, подставив эти выражения в левую часть правила (24,7), с учетом (24,8) получим требуемую -функцию:

Легко убедиться также, что гамильтониан жидкости, получающийся подстановкой вместо в интеграл (24,3), имеет, как и следовало, вид

его собственные значения равны в соответствии с представлением о фононах с энергиями

Выражение (24,3) для энергии жидкости в звуковой волне представляет собой первые (после нулевого) члены разложения точного выражения

(где — внутренняя энергия единицы массы жидкости). Роль точного гамильтониана жидкости играет этот интеграл, в котором заменены операторами из (24,10):

(оператор кинетической энергии написан в симметризованном виде чтобы быть эрмитовым).

При этом существенно, что именно являются канонически сопряженными «обобщенными координатами и импульсами», через которые должен быть выражен гамильтониан. Это видно из того, что правило мутации (24,7), которому удовлетворяют операторы (24,10), является точным — в его выводе малость колебаний нигде не использовалась.

Члены более высоких (третьей и т. д.) степеней в разложении этого гамильтониана выражают собой ангармоничность звуковых колебаний, а в терминах фононной картины — описывают взаимодействие фононов. Эти члены имеют матричные элементы для переходов с одновременным изменением нескольких чисел заполнения фононов и тем самым играют роль возмущения, вызывающего различные процессы рассеяния и распада фононов. При этом матричные элементы самих операторов и имеют, разумеется, прежний вид (24,9), поскольку (как это всегда делается в теории возмущений) используется представление, в котором диагонален невозмущенный гамильтониан. Приведем здесь выражения членов третьего и четвертого порядков