§ 40. Сверхтекучий ферми-газ. Термодинамические свойства

Изучение термодинамических свойств сверхтекучего ферми-газа начнем с вычисления температурной зависимости величинь энергетической щели.

Переписав уравнение (39,15) в следующей

замечаем, что интеграл в его левой стороне отличается от интеграла при лишь заменой . Поэтому учитывая (39,17), мы видим, что левая сторона равна . В правой стороне подставляем из (39,14) и переходим к интегрированию по

где

(ввиду быстрой сходимости интеграла пределы интегрирования могут быть распространены до ).

В области низких температур интеграл вычисляется просто и получается

В области же вблизи точки перехода мало, и первые члены разложения интеграла дают

Отсюда, прежде всего, видно, что обращается в нуль при температуре

малой по сравнению с температурой вырождения

После этого в первом порядке по получим

Нам осталось вычислить термодинамические величины газа. Рассмотрим сначала область низких температур.

Для вычисления теплоемкости в этой области проще всего исходить из формулы

для изменения полной энергии при варьировании чисел заполнения квазичастиц. Разделив на и перейдя от суммирования к интегрированию, получим теплоемкость:

При функция распределения квазичастиц их энергия простое интегрирование приводит к результату:

Таким образом, при теплоемкость убывает по экспоненциальному закону — прямое следствие наличия щели в энергетическом спектре.

Для дальнейших вычислений удобно исходить из термодинамического потенциала , поскольку все рассмотрение ведется нами при заданном химическом потенциале системы (а не числа частиц в ней). Воспользуемся формулой

где — какой-либо параметр, характеризующий систему (ср. V (11,4), (15,11)); в данном случае в качестве такого параметра выберем константу связи g, фигурирующую во втором члене гамильтониана (39,8). Среднее значение этого члена дается последним слагаемым в формуле (39,10), равном, согласно (39,12), — Поэтому имеем

При энергетическая щель стремится к нулю. Поэтому, интегрируя это равенство по в пределах от 0 до g, найдем разность между термодинамическим потенциалом в сверхтекучем состоянии и значением, которое он имел бы в нормальном состоянии при той же температуре 2):

(40,8)

Согласно общей теореме о малых добавках (см. V (24,16)), поправка (40,8), будучи выражена в соответствующих переменных, одинакова для всех термодинамических потенциалов.

При абсолютном нуле и, согласно (39,18), имеем

Переходя в (40,8) от интегрирования по к интегрированию по найдем следующее выражение для разности энергий основных уровней сверхтекучей и нормальной систем:

Отрицательный знак этой разности и означает упомянутую в начале параграфа неустойчивость «нормального» основного состояния в случае притяжения между частицами газа. Отнесенная к одной частице, разность (40,9) составляет величину

Перейдем к обратному случаю, Дифференцируя равенство (40,3) по g, находим

Подставим отсюда в формулу (40,8) понимая ее как разность свободных энергий:

и окончательно, с учетом (40,5),

(40,10)

Отсюда разность энтропий:

Разность же теплоемкостей стремится при конечному значению

(40,11)

т. e. в точке перехода испытывает скачок, причем Теплоемкость нормального состояния дается (в первом приближении) формулой идеального газа (см. V (58,6)); выраженная через она имеет вид Поэтому отношение теплоемкостей в точке перехода

В отношении своей сверхтекучести газ характеризуется разделением его плотности на нормальную и сверхтекучую части. Согласно (23,6) нормальная часть плотности

Полная же плотность газа связана с посредством

Поэтому

Этот интеграл не требует особого вычисления, так как может быть сведен к известной уже функции А (Г). Продифференцировав уравнение (40,1) по Т и сравнив получающийся при этом интеграл с (40,13), можно убедиться в том, что

Подставив сюда предельные формулы (40,2), (40,5), получим : (40,15)

(40,16)

Наконец, необходимо сделать еще два замечания относительно области справедливости полученных формул по температуре.

При приближении к точке перехода становятся существенными процессы взаимодействия квазичастиц (не учитываемые в изложенной теории); именно эти процессы ответственны в данном случае за возникновение особенностей термодинамических величин, характерных для точки фазового перехода второго рода. В достаточной близости к этой точке полученные выше формулы должны в конце концов стать неприменимыми. Но в силу наличия малого параметра (константы связи g) в рассмотренной модели это наступает лишь при чрезвычайно малых значениях мы вернемся еще к более подробному обсуждению этого вопроса в § 45.

Как и в сверхтекучей бозе-жидкости, в рассматриваемом ферми-газе (в противоположность ферми-газу с отталкиванием — ср. § 4) может распространяться звук (со скоростью определяющейся обычным образом сжимаемостью среды).

Это значит, что наряду с рассмотренным здесь спектром возбуждений фермиевского типа в спектре такого газа существует также и фононная, бозевская, ветвь возбуждений. Обусловленная фононами теплоемкость пропорциональна с малым коэффициентом, но при в конце концов она должна стать преобладающей над экспоненциально убывающей теплоемкостью (40,6).