§ 38. Диаграммная техника для температурных функций Грина

Диаграммная техника для вычисления температурной функции Грина строится подобно тому, как это делалось в §§ 12, 13 для временной функции G. Тот факт, что определение мацубаровских -операторов (37,1) отличается от определения гейзенберговских операторов лишь формальной заменой позволяет во многом воспользоваться прямой аналогией.

Прежде всего вводим мацубаровские операторы в «представлении взаимодействия», отличающиеся от (37,1) заменой точного гамильтониана Н на гамильтониан свободных частиц :

Связь между операторами и осуществляется мацубаровской -матрицей, построенной аналогично (12,8):

где

— оператор взаимодействия в том же представлении. Но в то время как в § 12 связь между t и устанавливалась при начальном условии «включения» взаимодействия при теперь роль «начального» условия должно играть совпадение и при Соответственно вместо (12,11) пишем

Подставим это выражение в определение функции Грина (37,3); положив, для определенности, имеем

(аргументы для краткости не выписываем). Заметив, что при

переписываем в виде

Множители в квадратных скобках уже расположены в порядке возрастания справа налево. Поэтому можно написать

где

Легко проверить, что в таком виде это выражение остается справедливым и при

В отличие от (12,12), в (38,5) содержится лишний (гиббсовский) множитель, и, кроме того, усреднение производится еще по состояниям системы взаимодействующих частиц.

Покажем, что оба эти отличия «взаимно погашаются», в результате чего восстанавливается полная аналогия с (12,14). Для этого воспользуемся формулой

которая получается путем подстановки (38,1) в (38,4) и последующим сравнением получившегося выражения с определением согласно (37,1). С ее помощью заменяем в (38,5)

Множитель же выносим из-под знака перенеся его из числителя в знаменатель и представив в виде

Наконец, умножив числитель и знаменатель на (где -термодинамический потенциал идеального газа при тех же значениях , получим окончательно

где усреднение производится по состояниям системы невзаимодействующих частиц:

Аналогия этого результата с (12,14) очевидна.

Для перехода к диаграммам теории возмущений, как и в § 13, разлагаем выражение (38,7) по степеням оператора взаимодействия Для системы с парным взаимодействием между частицами этот оператор отличается от (13,2) лишь заменой гейзенберговских на мацубаровские Средние значения произведений -операторов снова раскрываются по теореме Вика (т. е. путем выбора всеми возможными способами попарных сверток операторов); применимость этой теоремы в макроскопическом пределе доказывается в данном случае теми же рассуждениями, что и в § 13.

Возникающие, таким образом, правила диаграммной техники вполне аналогичны правилам, полученным в § 13 для техники при Графическое изображение диаграмм остается в точности тем же. Несколько меняются лишь правила аналитического прочтения диаграмм.

В координатном представлении каждой сплошной линии, идущей от точки 2 в точку 1, сопоставляется множитель — (со знаком минус). Каждому пунктиру, соединяющему точки 1 и 2, отвечает множитель - .

По всем переменным внутренних точек диаграммы производится интегрирование по по всему пространству и по пределах от 0 до

Для перехода к импульсному представлению надо разложить все функции в виде (37,7). После интегрирования по всем внутренним переменным в каждой вершине диаграммы возникает -функция, выражающая закон сохранения импульса Кроме того, в каждой вершине возникает интеграл вида

Этот интеграл (с учетом (37,8)) отличен от нуля, только если причем в этом случае равен 1. Таким образом, в каждой вершине соблюдается также и закон сохранения дискретных частот. Каждой сплошной линии ставится теперь в соответствие множитель (сплошной же линии, замкнутой на себя, снова отвечает множитель -плотность идеального газа при заданных . Каждой пунктирной линии сопоставляется множитель — . По всем импульсам и частотам, оставшимся неопределенными (после учета законов сохранения во всех вершинах), производится интегрирование и суммирование вида

Общий коэффициент, с которым диаграмма входит в — в случае ферми-систем равен где -число замкнутых последовательностей сплошных линий в диаграмме. В случае же бозе-систем этот коэффициент равен 1.

Разумеется, и в этой технике (как и в технике при можно производить частичное суммирование и вводить различные диаграммные «блоки». В частности, можно определить вершинную часть, выражающуюся через двухчастичную функцию Грина. Эта вершинная часть связана с функцией уравнением Дайсона, аналогичным (15,14). Мы не будем выписывать такие формулы, вывод которых вполне аналогичен выводу в диаграммной технике при .

При переходе к случаю суммы по s в мацубаровских диаграммах превращаются в интегралы по и мацубаровская техника превращается в технику, очень напоминающую обычную, изложенную в главе II. Разница, однако, состоит в том, что при вещественных мацубаровские функции совпадают со значениями и на соответствующих полуосях мнимой оси (см. (37,11 -12)). Для перехода к обычной технике при надо еще повернуть контур интегрирования до совпадения с вещественной осью .