§ 88. Гидродинамические флуктуации

В предыдущих параграфах мы рассматривали флуктуации плотности жидкости при произвольных частотах со и волновых векторах к. При этом, разумеется, конкретный вид корреляционной функции не мог быть найден в общем случае. Это можно, однако, сделать в гидродинамическом пределе, когда длина волны флуктуаций велика по сравнению с характерными микроскопическими размерами (межатомными расстояниями в жидкости, длиной свободного пробега в газе).

Вычисление одновременных корреляционных функций флуктуаций плотности, температуры, скорости и т. п. в неподвижной жидкости не требует особого исследования: эти флуктуации (в классическом, т. е. неквантовом пределе) описываются обычными термодинамическими формулами, справедливыми для любой среды, находящейся в тепловом равновесии. Корреляции между одновременными флуктуациями в различных точках пространства распространяются на длины порядка величины межатомных расстояний (при этом мы пренебрегаем слабыми дальнодействующими ван-дер-ваальсовыми силами). Но эти расстояния рассматриваются в гидродинамике как бесконечно малые. Поэтому в гидродинамическом пределе одновременные флуктуации в различных точках не коррелированы. Формально это утверждение следует из аддитивности термодинамической величины минимальной работы , требуемой, для осуществления флуктуации. Поскольку вероятность флуктуации пропорцио: нальна то, представив в виде суммы членов, относящихся к отдельным физически бесконечно малым объемам, мы найдем, что вероятности флуктуаций в этих объемах независимы друг от друга.

Имея в виду эту независимость, можно сразу переписать известные формулы для средних квадратов флуктуаций термодинамических величин в заданной точке пространства (см. V § 112) в виде формул для корреляционных функций. Так, согласно формуле

для флуктуаций температуры в объеме V ( — плотность; — теплоемкость, отнесенная к единице массы среды) пишем сначала

где флуктуации относятся к двум малым объемам

Устремив затем величину объемов к нулю, получим

Аналогичным образом записываются формулы для флуктуаций других термодинамических величин:

(Р — давление; s - энтропия единицы массы среды); при этом флуктуации пар величин независимы. Выпишем также формулу для флуктуаций макроскопической скорости жидкости v (равной нулю в равновесии):

Специфичным для гидродинамики является вопрос о временных корреляциях флуктуаций, а также вопрос о флуктуациях в движущейся жидкости. Решение этих вопросов требует учета диссипативных процессов в жидкости — вязкости и теплопроводности.

Построение общей теории флуктуационных явлений в гидродинамике сводится к составлению «уравнений движения» для флуктуирующих величин. Это может быть сделано путем введения соответствующих дополнительных членов в гидродинамические уравнения (Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, 1957).

Уравнения гидродинамики, написанные в виде

без спецификации вида тензора напряжений и вектора потока тепла q, выражают собой просто сохранение массы, импульса и энергии.

Поэтому в такой форме они справедливы для любого движения, в том числе для флуктуационных изменений состояния жидкости. При этом под надо понимать сумму значений величин в основном движении и их флуктуационных колебаний (по последним, конечно, уравнения всегда могут быть линеаризованы).

Обычные выражения для тензора напряжений и потока тепла связывают их соответственно с градиентами скорости и градиентом температуры. При флуктуациях в жидкости возникают также местные спонтанные напряжения и потоки тепла, несвязанные с указанными градиентами; обозначим их посредством и g и будем называть «случайными». Таким образом, пишем

(88,10)

( - коэффициенты вязкости; k — коэффициент теплопроводности).

Задача заключается теперь в установлении свойств и g — в определении их корреляционных функций. Для простоты -ведем все рассуждения для естественного в гидродинамике случая неквантовых флуктуаций; это значит, что частоты флуктуационных колебаний предполагаются удовлетворяющими условию При этом коэффициенты вязкости и теплопроводности будем считать не диспергирующими, т. е. не зависящими от частоты колебаний.

В общей теории флуктуаций (изложенной в V §§ 119—122) рассматривается дискретный ряд флуктуирующих величин между тем как здесь мы имеем дело с непрерывным рядом (значения в каждой точке жидкости). Это несущественное затруднение мы обойдем, разделив объем тела на малые, но конечные участки и рассматривая некоторые средние значения величин в каждом из них; переход к бесконечно малым элементам произведем в окончательных формулах.

Будем рассматривать формулы (88,9-10) в качестве уравнений

общей теории квазистационарных флуктуаций (см. V (122,20)), причем в качестве величин выберем значения компонент тензора и вектора q в каждом из участков ; тогда величинами являются

Смысл же термодинамически взаимных величин выясняется путем привлечения формулы для скорости изменения полной энтропии жидкости S. Обычным путем (ср. VI § 49) с помощью уравнений (88,8-10) находим

(88,13)

Заменив этот интеграл суммой по участкам и сравнив его затем с выражением

найдем, что

Теперь легко найти коэффициенты непосредственно определяющие искомые корреляции согласно формулам

(88,15)

(см. V (122, 21а)).

Прежде всего замечаем, что в формулах (88,9-10) нет членов, которые связали бы с градиентом температуры, a q — с градиентами скоростей. Это значит, что соответствующие коэффициенты и в силу (88,15) имеем

(88,16)

т. е. значения и g вообще не коррелированы друг с другом.

Далее, коэффициенты, связывающие значения со значениями равны нулю, если эти величины взяты в разных участках , и равны если они берутся в одном и том же участке. С этими значениями по формуле (88,15) получим после перехода к пределу

(88,17)

Аналогичным образом получаются формулы для корреляционных функций случайного тензора напряжений

(88,18)

Формулы (88,16-18) решают, в принципе, поставленный вопрос о вычислении гидродинамических флуктуаций в любом конкретном случае. Ход решения задач при этом таков. Рассматривая и g как заданные функции координат и времени, решаем формально линеаризованные уравнения (88,6-8) относительно величин учитывая при этом необходимые гидродинамические граничные условия. В результате получим эти величины, выраженные в виде некоторых линейных функционалов от Соответственно любая квадратичная по величина выражается через квадратичные функционалы от после чего их среднее значение вычисляется с помощью формул (88,16-18), и вспомогательные величины выпадают из ответа.

Выпишем формулы (88,16-18) также и в фурье-компонентах по частотам, причем сделаем это сразу в виде, обобщающем формулы на случай квантовых флуктуаций. Согласно общим правилам флуктуационно-диссипационной теоремы, такое обобщение достигается путем введения дополнительного множителя (обращающегося в единицу в классическом случае, ). При наличии дисперсии вязкости и теплопроводности величины являются комплексными функциями частоты; при этом в формулах для флуктуаций заменяются вещественными частями этих функций:

(88,19)