§ 82. Молекулярные силы взаимодействия между твердыми телами. Предельные случаи

Остановимся сначала на предельном случае «малых» расстояний, под которыми подразумеваются расстояния, малые по сравнению с длинами волн , характерными для спектров поглощения данных тел.

Температуры, о которых может идти речь для конденсированных тел, во всяком случае малы по сравнению с играющими здесь роль (например, в видимой части спектра), поэтому неравенство заведомо выполняется.

Благодаря наличию экспоненциального множителя в знаменателях подынтегрального выражения при интегрировании по существенна область, в которой 1. При этом , и поэтому при определении главного члена в интеграле можно положить . В этом приближении первое слагаемое в фигурных скобках в (81,10) обратится в нуль. Второй же член после введения переменной интегрирования даст

(нижний предел интегрирования по заменен в этом же приближении нулем).

Сила в этом случае оказывается обратно пропорциональной кубу расстояния, что, впрочем, и следовало ожидать в соответствии с обычным законом ван-дер-ваальсовых сил между двумя атомами (см. ниже примечание на стр. 404). Функции монотонно убывают с увеличением , стремясь к нулю. Поэтому значения , начиная с некоторого перестают вносить существенный вклад в интеграл; условие малости l означает, что должно быть

Покажем, каким образом можно перейти от макроскопической формулы (82,1) к взаимодействию отдельных атомов в пустоте. Для этого предположим формальным образом оба тела достаточно разреженными. С макроскопической точки зрения это значит, что их диэлектрические проницаемости близки к единице, т. е. разности и малы.

Из (82,1) имеем тогда с должной точностью

Выразив через на вещественной оси со, согласно (80,18), получим

Эта сила соответствует взаимодействию атомов с энергией

где — расстояние между атомами; — плотности чисел атомов в обоих телах. Эта формула совпадает с известной квантовомеханической формулой Лондона, получающейся с помощью обычной теории возмущений, примененной к дипольному взаимодействию двух атомов (см. III § 89, задача). При сравнении следует учесть, что мнимая часть связана со спектральной плотностью «сил осцилляторов» соотношением

( — заряд и масса электрона; см. VIII § 62); силы же осцилляторов известным образом выражаются через квадраты матричных элементов дипольного момента атомов (см. III (149,10)).

Перейдем к обратному случаю «больших» расстояний: При этом, однако, будем считать, что расстояния все же не столь велики, чтобы нарушилось неравенство

В формуле (81,10) снова вводим новую переменную интегрирования но в качестве второй переменной оставляем теперь не .

Тогда окажутся функциями аргумента Но благодаря наличию в знаменателях подынтегрального выражения в интеграле по играют роль значения а поскольку 1, то аргумент функции при больших I близок к нулю во всей существенной области переменных. В соответствии с этим можно заменить просто их значениями при , т. е. электростатическими диэлектрическими постоянными Таким образом, окончательно

Закон убывания силы с расстоянием (как ) соответствует в данном случае закону убывания ван-дер-ваальсовых сил между двумя атомами с учетом запаздывания (см. ниже).

Рис. 18.

Формула (82,4) сводится к очень простому выражению в случае, когда оба тела — металлы.

У металлов функция при ; поэтому для них надо считать Положив получим

(Н. В. G. Casimir, 1948). Эта сила вообще не зависит от рода металлов (свойство, не имеющее места на малых расстояниях, где сила взаимодействия зависит от поведения функции ) при всех значениях , а не только при

На рис. 18 представлен график функции определяющий силу притяжения между двумя одинаковыми диэлектриками ; формула (82,4) представлена в виде

На том же рисунке дан график функции определяющей силу притяжения для диэлектрика и металла

Произведем в (82,4) переход к взаимодействию отдельных атомов подобно тому, как это было сделано выше для формулы (82,1). При малых имеем

и интеграл (82,4) принимает вид

откуда

Эта сила соответствует взаимодействию двух атомов с энергией

где - статические поляризуемости атомов . Формула (82,9) совпадает с результатом расчета по квантовой электродинамике для притяжения двух атомов на достаточно больших расстояниях, когда становятся существенными эффекты запаздывания (см. IV § 85).

Наконец, рассмотрим расстояния настолько большие, что имеет место неравенство 1, обратное тому, которое требовалось для возможности пренебрежения влиянием температуры. В этом случае из всех членов суммы в (81,9) надо сохранить лишь первый. Однако сразу положить в нем нельзя ввиду возникающей при этом неопределенности (множитель обращается в нуль, но интеграл по расходится). Это затруднение можно обойти, введя сначала вместо новую переменную интегрирования (в результате чего множитель исчезает). Положив затем получим

Таким образом, на достаточно больших расстояниях убывание силы притяжения замедляется и снова происходит по закону но с коэффициентом, зависящш от температуры (все следующие члены суммы в (81,9) убывают с экспоненциально).

Условие есть по существу условие классичности где Поэтому естественно, (82,10) не содержит