§ 19. Тождества для производных от функции Грина

В математическом аппарате функций Грина существенную роль играют некоторые тождественные соотношения между производными от этих функций и амплитудой рассеяния квазичастиц.

Вывод этих соотношений однотипен: вычисляется изменение гриновской функции под влиянием некоторого фиктивного «внешнего поля», результат воздействия которого на систему известен заранее.

Поэтому прежде всего вычислим изменение гриновской функции под влиянием «внешнего поля» произвольного вида. Такому полю соответствует в гамильтониане член

где — некоторый оператор, действующий на функции от (и могущий зависеть также от времени ).

При наличии внешнего поля функция Грина зависит уже от двух 4-импульсов . В диаграммной технике такое поле изображается новым графическим элементом — внешней пунктирной линией:

причем такой линии сопоставляется множитель

В первом порядке по внешнему полю поправка к точной функции Грина изображается суммой двух скелетных диаграмм

где все сплошные линии — жирные (точные G-функции), а кружок точная вершинная функция (). В аналитическом виде это равенство записывается как

причем

Первые два из интересующих нас тождеств связаны с сохранением числа частиц в системе. В гамильтониане системы это свойство выражается тем, что -операторы входят в него парами: по одному для каждого аргумента X.

Произведем калибровочное преобразование операторов:

где — вещественная функция. В силу указанного характера гамильтониана, если удовлетворяет «уравнению Шредингера» (7,8), то удовлетворяет тому же уравнению с заменой

При бесконечно малом такое изменение уравнения эквивалентно добавлению к гамильтониану «внешнего поля»

В частности, если

(причем ввиду линейности последующих операций знак можно опустить), то

С другой стороны, функция Грина, построенная по - операторам:

отличается от функции, построенной по операторам , на

или, в компонентах Фурье:

где

Таким образом, одно и то же изменение выражено в двух видах: (19,7) и (19,4), куда надо подставить из (19,6). Приравняв оба эти выражения друг другу, получим (после замены и некоторых переобозначений переменных)

Искомые тождества получаются путем перехода в этом равенстве к пределу при этом

(где ). Произведя этот переход при условии получим первое тождество

Здесь введено обозначение

(19,10)

Аналогичным образом, произведя предельный переход при условии получим еще одно тождество

(19,11)

с аналогичным обозначением

Далее, рассмотрим изменение функции Грина при наложении на систему постоянного поля

(19,12)

При это поле медленно меняется в пространстве, так что его влияние на систему может рассматриваться макроскопически. Согласно термодинамическому условию равновесия во внешнем поле, должно быть (см. V § 25); при это значит что химический потенциал изменяется на малую величину . Соответствующее изменение функции Грина:

а его фурье-компонента (определенная, как в (19,7)):

С другой стороны, это же изменение функции Грина можнс вычислить по формуле (19,4), положив в ней на этот раз

Переход к пределу в данном случае (постоянное поле ) отвечает случаю .

В результате получаем тождество

(19,13)

Наконец, последнее тождество возникает как следствие галилеевской инвариантности системы. Для его вывода рассмотрим жидкость в системе координат, движущейся с медленно меняющейся со временем малой скоростью Переход к такой системе эквивалентен наложению внешнего поля, оператор которого

(19,14)

или, в импульсном представлении,

Это выражение надо подставить в (19,4), после чего производим предельный переход

С другой стороны, при речь идет о преобразовании Галилея от одной инерциальной системы отсчета к другой, движущейся с постоянной скоростью Если в жидкости имеется элементарное возбуждение с энергией то в системе отсчета, движущейся относительно жидкости со скоростью энергия этого возбуждения будет Поэтому в новой системе отсчета частота должна входить в функцию в комбинации (так, чтобы полюс функции сдвинулся на ). Таким образом,

и мы приходим к тождеству

(19,15)

Нам придется ниже применять полученные тождества, в частности, при значениях свободной переменной на фермиповерхности: Перенеся множитель из правых сторон тождеств в левые, заменим там производные от производными от при этом способ перехода к пределу в несуществен.

С другой стороны, вблизи ферми-поверхности функция Грина определяется своим полюсным членом, так что

Отсюда, на самой этой поверхности,

В результате, например, тождества (19,9) и (19,13) принимают на ферми-поверхности вид