ГЛАВА III. СВЕРХТЕКУЧЕСТЬ

§ 22. Элементарные возбуждения в квантовой бозе-жидкости

Обратимся теперь к изучению квантовых жидкостей с энергетическим спектром совершенно иного типа, который можно назвать бозевским.

Этот спектр характеризуется тем, что элементарные возбуждения (отсутствующие в основном состоянии жидкости) могут появляться и исчезать поодиночке. Но момент импульса всякой квантовомеханической системы (в данном случае жидкости) может испытывать изменения лишь на целое число. Поэтому возникающие поодиночке элементарные возбуждения должны обладать целочисленным моментом и, следовательно, подчиняться статистике Бозе. Спектром такого типа должна во всяком случае обладать всякая квантовая жидкость, состоящая из частиц с целым спином (таков жидкий изотоп ).

Напомним для сравнения, что в ферми-жидкости, при описании ее в терминах спектра элементарных возбуждений, отсутствующих в основном состоянии (см. конец § 1), эти возбуждения могут появляться или исчезать лишь парами. Именно с этим связана возможность элементарным возбуждениям в этом типе спектра иметь полуцелый спин.

В квантовой бозе-жидкости элементарные возбуждения с малыми импульсами (длина волны велика по сравнению с межатомными расстояниями) соответствуют обычным гидродинамическим звуковым волнам, т. е. представляют собой фононы. Это значит, что энергия таких квазичастиц является линейной функцией их импульса:

где — скорость звука в жидкости. Последняя дается обычной формулой причем нет необходимости уточнять, берется ли производная при постоянной температуре Г или энтропии S, поскольку при также и

Число элементарных возбуждений в бозе-жидкости стремится к нулю при и при низких температурах, когда их плотность достаточно мала, квазичастицы можно считать не взаимодействующими друг с другом, т. е. образующими идеальный бозе-газ. Поэтому статистически равновесное распределение элементарных возбуждений в бозе-жидкости дается формулой распределения Бозе (с равным нулю химическим потенциалом — ср. примечание на стр. 18)

С помощью этого распределения, и зная зависимость при малых р, можно вычислить термодинамические величины жидкости для таких близких к абсолютному нулю температур, при которых практически все имеющиеся в жидкости элементарные возбуждения обладают малыми энергиями, т. е. являются фононами. Соответствующие формулы можно написать сразу, воспользовавшись выражениями для термодинамических величин твердого тела при низких температурах (см. V § 64). Разница заключается, лишь в том, что вместо трех возможных направлений поляризации звуковых волн в твердом теле (одно продольное и два поперечных) в жидкости существует лишь одно (продольное); поэтому все выражения для термодинамических величин следует разделить на 3. Так, для свободной энергии жидкости имеем

где — свободная энергия при абсолютном нуле. Энергия жидкости равна

а теплоемкость

она пропорциональна кубу температуры.

Фононный закон дисперсии (22,1) справедлив лишь постольку, поскольку длина волны квазичастицы велика по сравнению с межатомными расстояниями.

По мере увеличения импульса кривая конечно, отклоняется от линейной зависимости; дальнейший ее ход зависит от конкретного закона взаимодействия молекул жидкости и не может быть поэтому определен в общем виде.

В жидком гелии закон дисперсии элементарных возбуждений имеет форму, изображенную на рис. 2: после начального линейного возрастания функция достигает максимума, затем убывает и при определенном значении импульса проходит через минимум.

Рис. 2.

В тепловом равновесии большинство элементарных возбуждений в жидкости имеет энергии в областях вблизи минимумов функции , т. е. в области малых (область вблизи , и в области значения . Поэтому именно эти области особенно существенны. Вблизи точки функция может быть разложена по степеням . Линейный член в разложении отсутствует, и с точностью до членов второго порядка имеем

где - постоянные.

Квазичастицы этого типа называют ротонами. Подчеркнем, однако, что оба типа квазичастиц — фононы и ротоны — отвечают лишь разным участкам одной и той же кривой, между которыми имеется непрерывный переход.

Эмпирические значения параметров энергетического спектра жидкого гелия (экстраполированные к нулевому давлению при плотности ) таковы:

Поскольку энергия ротона всегда содержит величину А, большую по сравнению с Т — при температурах достаточно низких для того, чтобы можно было говорить о «ротонном газе», - то последний можно описывать вместо распределения Бозе распределением Больцмана. Соответственно этому, для вычисления ротонной части термодинамических величин жидкого гелия исходим из формулы для свободной энергии больцмановского газа

(см. V § 41). При этом под N в этой формуле надо понимать число ротонов в жидкости. Но это число само определяется условием термодинамического равновесия, т. е. условием минимальности свободной энергии. Приравняв нулю, найдем для числа ротонов

(что соответствует, естественно, больцмановскому распределению с равным нулю химическим потенциалом). Соответствующее значение свободной энергии

В эти формулы надо подставить (22,6). Поскольку , то при интегрировании по можно вынести множитель из-под знака интеграла, заменив его с достаточной точностью на При интегрировании экспоненциального выражения можно распространить область интегрирования от — до . В результате получим

Отсюда вклад ротонов в энтропию и теплоемкость:

(22,10)

Мы видим, что температурная зависимость ротонной части термодинамических величин в основном экспоненциальна. Поэтому при достаточно низких температурах (для жидкого гелия — ниже примерно чем 0,8 К) ротонная часть меньше фононной, а при более высоких температурах положение меняется, и ротонный вклад превосходит фононный.