Задачи
1. Вычислить магнонные части термодинамических величин при температурах 
.
Решение. Существенны магноны с малыми квазиимпульсами к, распространяющиеся в направлении, где щель минимальна, т. е. вблизи 
оба эти значения дают одинаковый вклад.
Например, при малых 
имеем, с требуемой точностью,
где 
для кубических кристаллов или 
для одноосных кристаллов типа «легкая ось». Распределение магнонов при рассматриваемых температурах можно считать больцмановским (т. е. можно пренебречь единицей в знаменателях подынтегральных выражений) и заменить везде в предэкспоненциальных множителях в 
на 
Интегрирование по k и по 
распространяется до 
результате находим
При вычислении теплоемкости следует дифференцировать только экспоненциальный множитель
2. Определить зависимость намагниченности от внешнего поля при условиях 
Решение. В указанных условиях можно пренебречь релятивистскими членами и писать 
в виде (70,11). Продифференцировав выражение (71,4), находим
В интеграле существенны малые k. Поэтому
(полагаем 
— значение М при 
) и окончательно
Таким образом, в рассматриваемых условиях 
.
3. Определить зависимость намагниченности при 
от внешнего поля в слабых полях.
Редпение. Дифференцируя интеграл 
из (71,10) по §, получим
При 
интеграл по 
расходится логарифмически при малых k. Поэтому, ограничиваясь логарифмической точностью, можно положить в первом множителе в знаменателе 
а во втором 
при этом обрезать 
интеграл снизу при 
и сверху при 
. В результате получим
Напомним, что в (71,10) пренебрежено К. При в логарифме 
заменяется на 
4. В обменном приближении определить пространственную корреляционную функцию флуктуаций намагниченности на расстояниях 
Решение.
Операторы 
, удовлетворяющие правилу коммутации (70,6) и выраженные через операторы уничтожения и рождения магнонов имеют вид (в шредингеровском представлении)
С помощью этих операторов вычисляем корреляционную функцию
(индексы i, k пробегают значения х, y). Учтя, что отличные от нуля диагональные матричные элементы имеют только произведения 
— числа заполнения состояний магнонов), находим
Подынтегральное выражение прямо дает фурье-компоненту корреляционной функции. Постоянный член в ней можно опустить: ему соответствует 
-функционное слагаемое в 
, между тем, как все рассмотрение относится лишь к расстояниям 
. Таким образом,
В классическом пределе, при 
, находим
В кубическом ферромагнетике 
, и тогда
