§ 46. Поверхностное натяжение на границе сверхпроводящей и нормальной фаз

Уравнения Гинзбурга—Ландау позволяют, в частности вычислить поверхностное натяжение на границе сверхпроводящей и нормальной фаз (в одном и том же образце), связав его с величинами, характеризующими объемные свойства вещества (В. Л. Гинзбург, Л. Д. Ландау, 1950). Напомним, что такие границы существуют в металлических образцах, находящихся в так называемом промежуточном состоянии в магнитном поле. Поскольку все отличие обоих фаз сводится к тому, что в одной из них , а в другой , то переход между ними совершается непрерывно в некотором слое и описывается уравнениями Гинзбурга—Ландау с граничными условиями, поставленными лишь на больших расстояниях по обе стороны этого слоя.

Рассмотрим плоскую границу раздела между и -фазами металла. Выбрав эту границу в качестве плоскости yz, направим ось х в глубь s-фазы; распределение всех величин в обоих фазах зависит только от координаты Векторный потенциал поля, выбор которого оставался еще неоднозначным, подчиним калибровке, в которой ; в данном случае это дает откуда видно, что можно положить Из соображений симметрии очевидно, что вектор А лежит везде в одной плоскости; пусть это будет плоскость , так что , тогда вектор индукции лежит в плоскости , причем

(штрих означает дифференцирование по х).

Далее, перепишем уравнение (45,13) в обычном в макроскопической электродинамике виде , введя напряженность поля Н согласно

Из этого уравнения следует в данном случае, что . Вдали от границы раздела, в толще нормальной фазы индукция и напряженность совпадают, причем равны как раз критическому значению: (магнитной восприимчивостью нормальной фазы пренебрегаем). Поэтому и во всем пространстве будет

Пренебрегая изменением плотности вещества при сверхпроводящем фазовом перехода, будем считать ее (наряду с температурой) постоянной вдоль всего тела. Обозначим через свободную энергию единицы объема (в отличие от свободной энергии F тела в целом). При постоянных температуре и плотности и при пренебрежении поверхностными эффектами дифференциал

(см. VIII § 30). Отсюда видно, что дополнительное требование постоянства В привело бы в этих условиях также и к постоянству величины

Поэтому весь вклад в интеграл происходящий от переменной части F, обусловлен только наличием границы раздела. Отнеся этот вклад к единице площади границы, мы можем, следовательно, вычислить коэффициент поверхностного натяжения как интеграл

где постоянная есть значение вдали от границы раздела, например, в глубине нормальной фазы.

Для нормальной фазы свободная энергия дал, так что

(в последнем равенстве учтено (45,9)). Величина же в произвольной точке выражается через плотность свободной энергии согласно

Воспользовавшись теперь выражением (45,10), приходим к следующей формуле для поверхностного натяжения:

Как и следовало, подынтегральное выражение обращается в нуль как в глубине нормальной фазы где так и в глубине сверхпроводящей фазы , где .

Обратим внимание на то, что в подынтегральном выражении в (46,5) выпал член в результате равенства Такой же член выпадает из (45,12), так что остается уравнение с вещественными коэффициентами; поэтому решение этого уравнения может быть выбрано вещественным, что и предполагается ниже. При этом в выражении плотности тока (45,14) исчезает первый член и остается

Кроме того, введем вместо переменной и функций безразмерные величины

Ниже в этом параграфе мы будем пользоваться только этими величинами, опуская для краткости черточки над буквами. Уравнение (45,12) в этих переменных принимает вид

Уравнение же (45,13) с j из (46,6) приводится к виду

Граничные условия к этим уравнениям в рассматриваемой задаче (отвечающие n- и -фазам при ): при ,

(46,10)

Легко проверить, что уравнения (46,8-9) имеют первый интеграл

значение постоянной определено по граничным условиям.

Наконец, выражение (46,5) принимает вид

(46,12)

(при переходе ко второму равенству член выражен из (46,11)).

Приступим к исследованию написанных уравнений. Рассмотрим сначала случай (обычно выполняющийся в сверхпроводящих чистых металлах). Это неравенство означает, что т. е. магнитное поле существенно меняется на расстоянии, малом по сравнению с характерным расстоянием изменения функции .

Рис. 6.

На рис. 6 схематически изображена картина распределения поля и в этом случае. В области, где поле велико, имеем , затем поле резко спадает, а функция начинает медленно (на расстояниях ) меняться в отсутствие поля. Положивв (46,11) , находим уравнение

которое должно быть решено при условии в точке выбранной где-то внутри области спадания поля. Такое решение есть

(46,13)

а вычисление интеграла (46,12) с этой функцией (и ) дает

Погрешность этого значения происходит от пренебрежения здесь вкладом в интеграл от области, в которой спадает поле. Для оценки ширины этой области замечаем, с одной стороны, что, согласно уравнению (46,9),

С другой стороны, формула (46,13) должна оставаться, по порядку величины, справедливой и на границе области откуда Из этих двух соотношений находим Вклад же в поверхностное натяжение от этой области оказывается т. е. мал по сравнению с (46,14) всего в отношении (так что точность (46,14) сравнительно невелика).

При увеличении параметра коэффициент поверхностного натяжения проходит через нуль и становится отрицательным. Это видно уже из того, что неравенство во всяком случае осуществляется при достаточно больших значениях Действительно, характерные расстояния изменения функции в этой задаче не могут быть меньшими, чем для изменения так как уже само по себе изменение А приводит к изменению поэтому при большом членом под знаком интеграла в (46,12) можно пренебречь, а поскольку в обычных единицах), то подынтегральное выражение оказывается отрицательным. Покажем, что обращение в нуль происходит при значении

(46,15)

Для этого перепишем выражение для в виде

(46,16)

(оно получается из первого интеграла (46,12) интегрированием члена по частям с последующей подстановкой из (46,8)). Интеграл заведомо обратится в нуль, если будет тождественно равно нулю подынтегральное выражение, т. е. если будет

(46,17)

(обратный знак в этом равенстве невозможен, так как поле должно убывать с увеличением ). Исключив из (46,17) и (46,9), найдем уравнение

(46,18)

решение которого (при граничных условиях прих при ) определит распределение поля; в силу (46,17) граничные условия (46,10) для после этого выполнятся автоматически. Не решая уравнения (46,18) фактически, достаточно убедиться, что при будет автоматически довлетворено также и неиспользованное еще уравнение (46,8), или, что то же, его первый интеграл (46,11).

Подставив (46,17) в (46,9), получим это значение вместе с А из (46,17) действительно тождественно удовлетворяет равенству (46,11) с

Задача

Для сверхпроводника с параметром найти первую поправку по полю к глубине проникновения в слабых полях.

Решение. Выберем поверхность сверхпроводника в качестве плоскости с осью z в направлении внешнего поля ось направим внутрь тела. Распределение поля и в сверхпроводнике определяется уравнениями (46,8-9),, которые надо решать с граничными условиями

(первое из них есть условие (45,15)). Ищем решение в виде

где - малые поправки к решению при х = 0, отвечающему затуханию поля по лондоновскому закону (44,13). Для поправки имеем уравнение

откуда с учетом граничных условий

Теперь для пишем уравнение

причем для сюда надо подставить только второй член из (1) первого порядка по . С учетом граничного условия ( при х = 0) и пренебрегая, где возможно, высшими по к членами в коэффициентах, находим

Тем самым найдены поправки к закону затухания поля в глубь сверхпроводника. Эффективную глубину проникновения бэфф введем, согласно определению,

Возвращаясь к обычным единицам, находим из (2)