§ 81. Молекулярные силы взаимодействия между твердыми телами. Общая формула

Применим полученные в предыдущем параграфе общие формулы к вычислению сил, действующих между твердыми телами, поверхности которых сближены до очень малых расстояний, удовлетворяющих лишь одному условию: они должны быть велики по сравнению с межатомными расстояниями в телах. Именно это условие позволяет подойти к вопросу с макроскопической точки зрения, в которой тела рассматриваются как сплошные среды, а их взаимодействие — как осуществляющееся посредством луктуационного электромагнитного поля. При этом существенны те флуктуации, длины волн которых порядка величины характерных размеров задачи — ширины щели между телами.

Рис. 17.

Будем обозначать индексами 1 и 2 величины, относящиеся к двум твердым телам, а индексом -величины, относящиеся к пространству щели между ними (рис. 17). Щель будем предполагать плоскопараллельной; ось направим перпендикулярно ее плоскости (так что поверхностями тел 1 я 2 будут плоскости где l — ширина щели). Сила F, действующая на единицу площади поверхности, скажем, тела 2, вычисляется как поток импульса, втекающего в тело через эту поверхность. Этот поток дается компонентой электромагнитного тензора напряжений в пространстве щели, взятого при . В пустоте и выражение из (80,16) сводится

(индекс суммирования обозначаем в этом параграфе буквой ).

В силу однородности задачи в направлениях функции зависят только от разностей (аргументы (80,1) не выписаны); фурье-компоненты по этим переменным. Тогда

Для функций уравнения (79,8) принимают вид (ось у направляем вдоль вектора )

где играет роль параметра (компоненты же поскольку уравнения для них оказываются однородными). Решение этой системы сводится к решению всего двух уравнений

после чего определяются как

При этом надо учесть, что в силу и поэтому .

Краевые условия, соответствующие непрерывности тангенциальных компонент напряженности электрического и магнитного полей, сводятся к требованию непрерывности величин или, что то , к непрерывности величин

Используя первое из равенств (81,5), получим, что на границе раздела должны быть непрерывны

(81,6)

Поскольку мы имеем в виду вычислить тензор напряжений лишь в области щели, то можно сразу считать, что . В области функции определяются уравнениями В областях они удовлетворяют тем же уравнениям без правых частей (поскольку здесь ) соответственно с до и в качестве

Необходимое, согласно (80,17), вычитание сводится к тому, что из всех функций в области щели следует вычесть их значения при Вследствие этого, в частности, можно сразу опустить второй член справа во втором из равенств (81,5), так что в области щели

Прежде чем приступить к решению уравнений, сделаем еще одно замечание. Общее решение уравнений (81,3-4) имеет вид Используя уравнения и определение функций и можно показать, что части гриновских функций, зависящие от суммы не вносят никакого вклада в выражение (81,1) для силы. Мы не останавливаемся здесь на этом, так как этот результат заранее очевиден из физических соображений: положив в решении вида мы бы получили поток импульса в щели, который зависел бы от координаты в противоречии с законом сохранения импульса. В дальнейшем мы будем поэтому приводить в результате только выражения для частей гриновских функций не зависящих от .

Перейдем к нахождению функции Она удовлетворяет уравнениям:

Отсюда находим

В последнем выражении учтено, что в силу третьего из уравнений (81,8) производная испытывает при скачок, равный .

Определив (функции ) из граничных условий непрерывности получим

где

Вычтя значение при (при этом имеем окончательно

Аналогично, решая уравнение для получим (после вычитания)

и, используя (81,7),

Вычислив теперь функции преобразовав их затем согласно (81,2) и подставив в (81,1), получим

Наконец, перейдя к новой переменной интегрирования р, согласно и возвратившись к обычным единицам, мы придем к окончательному выражению для силы F, действующей на единицу площади каждого из двух тел, разделенных щелью шириной l:

где

-функции мнимой частоты напомним в этой связи, что -положительная вещественная величина, монотонно убывающая от своего электростатического значения при до 1 при

Положительные значения F соответствуют притяжению тел. Подынтегральное выражение в каждом из членов суммы в (81,9) положительно и при каждых заданных и монотонно убывает с ростом . Отсюда следует, что , т. е. тела (разделенные пустой щелью) притягиваются с силой, монотонно убывающей с увеличением расстояния.

Общая формула (81,9) очень сложна. Она, однако, может быть существенно упрощена в связи с тем, что влияние температуры на силу взаимодействия обычно совершенно несущественно. Дело в том, что благодаря наличию экспонент в подынтегральных выражениях в (81,9) главную роль в сумме играют лишь те члены, Для которых или . В случае существенными будут, таким образом, большие значения (81,9) можно перейти от суммирования к интегрированию по . При этом температура исчезает из формулы, и мы приходим к следующему результату:

Согласно сказанному, эта формула применима для расстояний уже при комнатных температурах это Дает расстояния примерно до 10 см. Формула (81,10) допускает дальнейшее существенное упрощение в двух предельных случаях.