§ 68. Электронный спектр вблизи точки вырождения

В этом параграфе мы покажем на простых примерах, каким образом можно, исходя из соображений симметрии, найти вид энергетического спектра электронов или дырок в полупроводнике (или диэлектрике) вблизи определенных точек -пространства (обратной решетки), выделенных по своей симметрии.

Рассмотрим решетку, относящуюся к кубическому кристаллическому классу и будем интересоваться свойствами энергетического спектра вблизи точки -вершины кубической ячейки обратной решетки; эта точка имеет собственную симметрию полной точечной группы

В качестве первого примера рассмотрим спектр без учета спина электрона, и пусть в самой точке уровень энергии в зоне двукратно вырожден, относясь к неприводимому представлению группы При выходе из точки вырождение снимается; задача состоит в нахождении всех ветвей закона дисперсии вблизи этой точки.

В § 59 было объяснено, каким образом можно рассматривать отклонение от некоторой точки в -пространстве как возмущение. Конкретный вид оператора возмущения для нас здесь несуществен. Достаточно знать лишь структуру выражений, определяющих поправку к энергии в каждом порядке по малой величине (в данном случае так что ). В первом порядке поправки определяются секулярным уравнением, составленным из матричных элементов (для переходов между состояниями, относящимися к одному и тому же вырожденному уровню) от оператора вида , где — некоторый векторный оператор. В данном случае ввиду наличия в группе симметрии центра инверсии все матричные элементы оператора v заведомо обращаются в нуль, так что эффект первого порядка по к отсутствует (ср. V § 136). Во втором порядке по к поправки к энергии определяются секулярным уравнением, составленным из матричных элементов от оператора вида

где — некоторый тензорный (симметричный по индексам ) эрмитов оператор; сюда входят поправки от линейных по к членов в гамильтониане во втором приближении теории возмущений и поправки от квадратичных по k членов — в первом приближении. Среди матричных элементов оператора (68,1) заведомо существуют отличные от нуля, но требования симметрии накладывают на них определенные связи.

В смысле своего закона преобразования при операциях симметрии волновые функции, составляющие базис представления можно выбрать в виде

где

знак означает здесь слова «преобразуется как». Поворот вокруг диагонали куба преобразует координаты согласно при этом функции преобразуются как

Поворот вокруг ребра куба (преобразование ) преобразует функции согласно

и т. п. При инверсии координаты меняют знак, а функции не меняются.

Отсюда легко заключить, что все матричные элементы от недиагональных компонент обращаются в нуль, а матричные элементы от диагональных компонент сводятся к двум независимым вещественным постоянным:

Теперь матричные элементы оператора (68,1):

Составив по этим матричным элементам секулярное уравнение и решив его, получим две ветви спектра:

Вырождение снимается при выходе из точки во всех направлениях, за исключением направления диагонали куба

В качестве другого примера рассмотрим спектр с учетом спина электрона; при этом уровням энергии отвечают двузначные (спинорные) представления группы симметрии.

Пусть в точке уровень четырехкратно вырожден, отвечая неприводимому представлению группы .

Функции базиса этого представления можно выбрать так, чтобы они преобразовывались как собственные функции момента Это обстоятельство позволяет применить следующий прием, существенно упрощающий решение задачи (J. М. Luttinger, 1956).

Для четырехмерного представления матрица оператора (68,1) будет ранга 4x4, с 16 элементами. Всякую такую матрицу можно представить в виде линейной комбинации 16 заданных линейно независимых матриц 4x4, в качестве которых выберем 15 матриц

и получающихся из них циклическими перестановками индексов , и матрицу (символ означает антикоммутатор). Здесь -матрицы декартовых компонент момента взятые по отношению к четырем функциям . С другой стороны, при таком выборе функций базиса следует считать, что сами операторы преобразуются при поворотах и отражениях как компоненты аксиального вектора. Это обстоятельство позволяет записать оператор V, квадратичный по составив его из выражений, инвариантных по отношению ко всем преобразованиям группы

где — вещественные постоянные.

Матричные элементы оператора (68,3) по отношению к функциям

легко вычисляются теперь по хорошо известным матричным элементам момента (они даются формулами III (29,7-10)).

Такое вычисление приводит к следующим выражениям:

Составление секулярного уравнения можно упростить, заметив, что расщепление уровня заведомо не может быть полным — должно оставаться двукратное (крамерсовское) вырождение. Это значит, что каждый корень секулярного уравнения (собственное значение матрицы V) будет двойным. Другими словами, каждому собственному значению будет соответствовать два линейно независимых набора величин — решений уравнений

Комбинируя эти два набора, мы можем, следовательно, наложить на величины одно дополнительное условие, в частности обратить в нуль одну из них; пусть Тогда уравнение (68,5) с даст

Подставив отсюда значение в уравнения с получим систему всего двух однородных уравнений с двумя неизвестными и

(уравнение же с не дает ничего нового). Таким образом, задача о собственных значениях 4х4-матрицы сводится к задаче для 2х2-матрицы. Составив для нее секулярное уравнение и решив его (со значениями из (68,4)), получим

или окончательно

где

(G. Dresselhaus, A. F. Kip, Ch. K.ittel, 1955).

Уровень расщепляется при выходе из точки во всех направлениях.

Осталовимся кратко на вопросе о виде уравнений, описывающих поведение частиц вблизи вырожденного дна зоны в магнитном поле. Для определенности будем иметь в виду второй из рассмотренных в этом параграфе случаев — спектр (68,6).

Прямое использование гамильтониана, составленного из (68,6) по общему правилу (56,7), натолкнулось бы на затруднения, связанные с неаналитическим характером спектра вблизи точки Эти трудности можно обойти, если произвести замену не в (68,6), а в матричном гамильтониане (68,3) (для сохранения эрмитовости при этом должна быть произведена симметризация по компонентам к). Каждый матричный элемент гамильтониана превращается после этого в линейный дифференциальный оператор, действующий не только на спиновые индексы, но и на аргументы функций в уравнениях (68,5), которые превращаются, таким образом, в систему четырех линейных дифференциальных уравнений.

Для учета спиновых эффектов при наличии магнитного поля к гамильтониану (68,3) надо еще добавить члены, непосредственно зависящие от Н, которые не определяются соображениями калибровочной инвариантности. Поскольку поле считается слабым, добавляемые члены должны быть линейны по Н; в то же время в виду предполагаемой малости к они не должны зависеть от k (ср. § 59). В данном случае общий вид таких членов, инвариантных относительно всех преобразований симметрии кристалла, таков:

В заключение этого параграфа упомянем об интересной ситуации, возникающей, если одна из соприкасающихся в точке вырождения зон является зоной проводимости, а другая — валентной зоной. Энергетическая щель в спектре такого типа равна нулю; для рождения электрона и дырки с импульсами, близкими к достаточно сколь угодно малой энергии. Такие кристаллы являются в определенном смысле промежуточными между диэлектриком и металлом. Энергетическая щель отсутствует, но электронные и дырочные состояния не разделены только в одной точке -пространства.

Можно сказать, что это металл, у которого поверхность Ферми «стянута» в одну точку . При Т = 0 в таком бесщелевом полупроводнике носители тока отсутствуют, но при низких температурах их число возрастает по степенному, а не экспоненциальному закону. Вид спектра вблизи точки нельзя установить исходя из одних только соображений симметрии; кулоновское взаимодействие электронов и дырок приводит к появлению в этой точке особенности у матричных элементов возмущения.