Задачи

1. Найти флуктуации электромагнитного поля вдали от тела, погруженного в прозрачную разреженную среду, с которой оно находится в тепловом равновесии; длина волны излучения и расстояние от тела к точке наблюдения велики по сравнению с размерами тела. Тело обладает анизотропной электрической поляризуемостью .

Решение. Разреженную прозрачную среду рассматриваем как вакуум. Искомые флуктуации определяются малым (на больших расстояниях) изменением вакуумной функции Грина, вызванным присутствием тела.

Для вычисления этого изменения исходим из аналогии, согласно которой вакуумную функцию (при заданном индексе к) можно формально рассматривать как электрическое поле , создаваемое в точке некоторым источником, находящимся в точке . Эта аналогия основяна на том, что поле (как и его потенциал А; ) удовлетворяет при такому же уравнению, как и функция — уравнение (75,16) с Пусть тело находится в точке Поле

(где — гриновская функция в пустоте в отсутствие тела, даваемая выражением (77,6) с ) поляризует тело, создавая тем самым вточкег дипольный момент . Поле же, создаваемое, в свою очередь, этим дипольным моментом в точке , и дает искомое изменение . Согласно известной из электродинамики формуле (см. II § 72), поле, создав ваемое в точке находящимся в точке дипольным моментом d (зависящим от времени как есть

причем расстояние должно быть большим только по сравнению с размером тела, но не с длиной волны; это выражение можно представить в виде

(напомним, что функция четна по переменной ). С написанным выше дипольным моментом находим, следовательно,

Искомые корреляционные функции флуктуаций даются теперь общими формулами (76,3-6) с вместо . Окончательно получаем

Напомним, что тело находится в точке и - две точки вдали от тела. Отметим, что вклад во флуктуации возникает не только от мнимой, но и от вещественной части поляризуемости; последний можно рассматривать как результат рассеяния на теле черного излучения, заполняющего прозрачную среду.

2. То же для тела с магнитной поляризуемостью .

Решение. В этом случае рассматриваем как магнитное поле , создаваемое в точке источником, находящимся в точке (уравнению того же вида, что и для функции удовлетворяет не само поле а его потенциал ). Это поле намагничивает тело, создавая в точке магнитный момент

(дифференцирование по заменено дифференцированием по с учетом того, что зависит только от разности ).

Искомое же изменение гриновской функции совпадает с векторным потенциалом магнитного поля, создаваемого этим магнитным моментом в точке :

(см. II § 72, задача 1). Таким образом,

Наконец, подставив из (77,6), находим

(использовано, что

3. Определить флуктуации электромагнитного поля в условиях задачи 1, считая, однако, что температура среды много ниже температуры тела.

Решение. Вычисленное в задаче 1 поле естественно делится, в соответствии с наличием двух членов в фигурной скобке в (1), на нулевые флуктуации и тепловое черное излучение. Последнее, в свою очередь, состоит из двух частей — теплового излучения самого тела и поля, возникшего при рассеянии черного излучения среды на теле. Если температура среды низка, вторая часть отсутствует. Для решения задачи мы вычислим ее отдельно, а затем вычтем из (1). Положим где -флуктуационное поле в отсутствие тела, — поле, рассеянное телом. На больших расстояниях, где мало, можно при вычислении пренебречь членами, квадратичными по Для вклада от рассеяния имеем поэтому

Рассеянное поле снова дается формулой из II § 72, но теперь под дипольным моментом надо понимать просто момент, индуцированный черным излучением: Введя опять гриновскую функцию в вакууме в отсутствие тела, имеем

так что

Корреляционную функцию берем снова из (76,2). При этом, поскольку нас интересует только тепловое излучение, надо опустить в этой формуле нулевые колебания, т. е. заменить

В результате находим для вклада рассеянного черного излучения в корреляционную функцию

Окончательно, чтобы найти флуктуационное поле в холодной среде, надо вычесть (3) из (1). После простых преобразований с использованием симметрии тензоров получим

(Т — температура тела). Здесь выписан лишь тепловой член; член с нулевыми колебаниями в (1) остается без изменений. Обратим внимание на то, что выражение (4), определяющее тепловое излучение тела, зависит только от мнимой части поляризуемости. Поток энергии, вычисленный по выражению (4), уже не равен нулю, а дает интенсивность теплового излучения нагретого тела в окружающую холодную среду.