§ 65. Влияние электрон-фононного взаимодействия на электронный спектр в металле

Рассмотрим вопрос о влиянии, оказываемом электрон-фононным взаимодействием на энергетический спектр электронов в металле.

В § 14 было показано, что для спектра фермиевского типа поправка к закону дисперсии (по сравнению со спектром системы свободных фермионов) определяется разностью

где — собственно-энергетическая функция. В данном же случае речь идет о поправке, вызванной взаимодействием с фононами, а роль «невозмущенного» играет спектр, учитывающий «прямое» взаимодействие частиц (электронов). Согласно (64,6), имеем

но под надо понимать теперь гриновскую функцию взаимодействующих друг с другом электронов. Вблизи своего полюса такая функция имеет вид

(см. (10,2)); индекс (0) у означает, что в этой величине еще не учтено влияние электрон-фононного взаимодействия.

Наша цель состоит теперь в оценке величины (65,1), т. е. интеграла

Как видно из последующих вычислений, основной вклад в этот интеграл дает область, в которой импульс и энергия (как и сами ) лежат вблизи ферми-поверхности, т. е. По этой причине для функций можно использовать (65,3).

В сферических координатах в -пространстве с осью вдоль имеем , где - угол между . Вместо введем переменную заметив, что имеем

(мы положили ).

В подынтегральном выражении в (65,4) от зависит только множитель в фигурных скобках, равный

Ввиду быстрой сходимости интеграла по можно распространить интегрирование до введя переменную , получим интеграл

Если оба полюса подынтегрального выражения находятся по одну сторону от вещественной оси, то интеграл обращается в нуль (в чем убеждаемся, замкнув путь интегрирования в другой полуплоскости). Поэтому интеграл отличен от нуля, лишь если или в первом случае он равен , а во втором . Учтя также четность функции по переменной со, находим, таким образом,

(65,5)

Вещественная и мнимая части этого выражения определяют соответственно поправку к спектру квазичастиц (электронов проводимости) и их затухание. Рассмотрим сначала затухание.

Отделяя в (65,5) мнимую часть по правилу (8,11), находим

интегрирование по k производится по области от 0 до в которой полюс подынтегрального выражения в (65,5) лежит в интервале между 0 и Таким образом (в обычных единицах),

Для грубой оценки этой величины замечаем, что параметры и w имеют электронное происхождение и выражаются, по порядку величины, лишь через межатомные расстояния а и массу электрона (см. примечание на стр. 318). Плотность же скорость звука и зависят еще и от массы ионов М, причем так что Поэтому оценку затухания можно записать в виде

где дебаевская частота .

Строго говоря, оценка (65,8) относится к значениям при которых интегрирование в (65,6) производится по области , где действительно применим используемый нами закон дисперсии фононов . Но для грубой оценки по порядку величины можно применить (65,8) и на краю области при , где она дает

Наконец, при область интегрирования в (65,6) не зависит от так как полюс всегда лежит в интервале между 0 и . В этом случае и затухание

(65,10)

Выражения (65,8-10) определяют специфическое затухание, связанное с испусканием фононов электронами. Мы видим, что в непосредственной близости к ферми-поверхности при , согласно (65,8), затухание мало , так что понятие о квазичастицах,электронах проводимости имеет вполне четкий смысл. В области же затухание квазичастицы становится сравнимым с самой ее энергией, спектр размывается и в значительной степени теряет смысл. Однако на еще больших расстояниях над ферми-поверхностью при разумеется, по-прежнему согласно (65,10), затухание, оставаясь тем же по абсолютной величине, снова становится малым по сравнению с энергией и квазичастицы снова приобретают определенный смысл. Разумеется, наряду с фононным затуханием электронов проводимости всегда имеется также и затухание от электрон-электронных столкновений. Это затухание, характерное для всякой нормальной ферми-жидкости (§ 1), пропорционально и по порядку величины , т. е. всегда мало в области применимости теории.

Оценим теперь поправку к вещественной части , т. е. к самому спектру.

Вещественная часть интеграла по в (65,5) дается его главным значением

Поэтому для имеем (обычные единицы)

(65,11)

При -логарифм в подынтегральном выражении и весь интеграл оценивается как Замечая также, что в силу наличия множителя в знаменателе в (65,11) все это выражение приходим к оценке

Таким образом, в этом случае поправка в спектре относительно так что спектр дается выражением

с «невозмущенным» значением скорости на ферми-поверхности . В области же логарифм в и интеграл оценивается как Все выражение (65,11) оказывается в результате пропорциональным с коэффициентом, не зависящим от массы иона М (так как произведение не зависит от М). Это значит, что спектр в этой области будет снова того же типа

но со скоростью отличающейся от на величину порядка ее самой

Таким образом, спектр фермиевского типа для электронов в металле характеризуется двумя различными значениями скорости — одним в непосредственной близости к ферми-поверхности , а другим — при термодинамических свойствах металла при низких температурах фигурирует параметр из (65,13). Такие же явления, как оптические свойства металла для частот определяются скоростью