§ 45. Уравнения Гинзбурга — Ландау

Полная теория, описывающая поведение сверхпроводника в магнитном поле, очень сложна. Ситуация, однако, существенно упрощается в области температур вблизи точки перехода. Здесь оказывается возможным построить систему относительно простых уравнений, причем применимых не только в слабых, но и в сильных полях.

В общей теории Ландау фазовых переходов второго рода отличие «несимметричной» фазы от «симметричной» описывается параметром порядка, обращающимся в точке перехода в нуль (см. V § 142). Для сверхпроводящей фазы естественным таким параметром является конденсатная волновая функция В. Во избежание излишних (с принципиальной точки зрения) усложнений будем считать симметрию металлического кристалла кубической; как было указано в § 44, в этом случае сверхпроводящее состояние характеризуется скалярной величиной — плотностью сверхпроводящих электронов. Более удобным выбором параметра порядка в этом случае является величина (обозначим ее через ), пропорциональная В, но нормированная условием . Фаза величины совпадает с фазой функции :

Плотность сверхпроводящего тока (44,2), выраженная через записывается в виде

Отправным пунктом теории является выражение для свободной энергии сверхпроводника как функционала от функции . В соответствии с общими положениями теории Ландау, оно получается разложением плотности свободной энергии по степеням малого (вблизи точки перехода) параметра порядка и его производных по координатам. Сначала рассмотрим сверхпроводник в отсутствие магнитного поля.

В соответствии со своим смыслом как величины, пропорциональной гриновской функции параметр порядка неоднозначен: поскольку функция F(X, X) составлена из двух операторов , то произвольное изменение фазы этих операторов, приводит к изменению фазы функции F на а. Физические величины не должны, конечно, зависеть от этого произвола, т. е. должны быть инвариантны по отношению к преобразованию комплексного параметра порядка: . Этим требованием исключаются члены нечетных степеней по в разложении свободной энергии.

Конкретный вид этого разложения устанавливается на основе тех же соображений, что и в общей теории фазовых переходов второго рода (см. V § 146). Не повторяя этих рассуждений, напишем следующее разложение полной свободной энергии сверхпроводящего тела

Здесь — свободная энергия в нормальном состоянии (т. е. при ), b — зависящий лишь от плотности вещества (но не от температуры) положительный коэффициент; величина а зависит от температуры по закону

обращаясь в нуль в точке перехода; коэффициент в соответствии с тем, что сверхпроводящей фазе отвечает область коэффициент при в (45,3) выбран так, чтобы для тока получалось выражение (45,2) (см. ниже).

Тот факт, что в (45,3) фигурируют лишь первые производные от связан с предположением о достаточной медленности изменения в пространстве.

В однородном сверхпроводнике, в отсутствие внешнего поля, параметр не зависит от координат. Тогда выражение (45,3) сводится к

Равновесное значение (при ) определяется условием минимальности этого выражения:

плотность сверхпроводящих электронов в зависимости от температуры обращается в точке перехода в нуль по линейному закону.

Подставив значение (45,6) обратно в (45,5), найдем разность свободных энергий сверхпроводящего и нормального состояний:

Дифференцированием по температуре отсюда можно найти разность энтропий, а затем и скачок теплоемкости в точке перехода 1):

Вблизи точки перехода разность (45,7) представляет собой малую добавку в свободной энергии. Согласно теореме о малых добавках (V § 15), эта же величина (выраженная в функции температуры и давления вместо температуры и объема) дает разность термодинамических потенциалов . С другой стороны, согласно общей формуле термодинамики сверхпроводников (см. VIII (43,7)), эта разность совпадает с величиной , где — критическое поле, разрушающее сверхпроводимость.

Таким образом, находим для последнего следующий закон температурной зависимости вблизи точки перехода:

При наличии магнитного поля выражение (45,3) для свободной энергии должно быть изменено в двух отношениях. Во-первых, к подынтегральному выражению надо добавить плотность энергии магнитного поля (где — магнитная индукция в теле). Во-вторых, надо изменить градиентный член таким образом, чтобы удовлетворить требованию калибровочной инвариантности. В предыдущем параграфе было показано, что это условие приводит к необходимости замены градиента фазы конденсатной волновой функции разностью . В данном случае это значит, что надо заменить:

Таким образом, мы приходим к следующему основному выражению:

(45,10)

( — свободная энергия тела в нормальном состоянии - в отсутствие магнитного поля). Подчеркнем, что коэффициент в этом выражении имеет безусловный характер (в отличие от отмеченной выше условности выбора коэффициента ). Удвоение заряда электрона в нем есть следствие эффекта Купера (Л. П. Горьков, 1959); этот коэффициент не мог бы быть, конечно, установлен чисто феноменологическим путем.

Дифференциальные уравнения, определяющие распределение волновой функции и магнитного поля в сверхпроводнике, находятся теперь минимизацией свободной энергии как функционала от трех независимых функций: и А.

Комплексная величина есть совокупность двух вещественных величин; поэтому надо рассматривать при варьировании как независимые функции. Варьируя интеграл по и преобразовав интеграл

От члена интегрированием по частям, получим

(45,11)

второй интеграл берется по поверхности тела. Положив получим, в качестве условия равенства нулю объемного интеграла при произвольном следующее уравнение:

(45,12)

(варьирование же интеграла по приводит к комплексно-сопряженному уравнению, т. е. не дает ничего нового).

Аналогичным образом, варьирование интеграла по А приводит к уравнению Максвелла

(45,13)

причем плотность тока дается выражением

(45,14)

совпадающим с (44,7) (мы пишем j вместо так как в термодинамическом равновесии нормальный ток отсутствует). Отметим, что из (45,13) следует уравнение непрерывности это уравнение можно получить также и прямым дифференцированием выражения (45,14) с учетом уравнения (45,12).

Уравнение (45,12-14) составляют полную систему уравнений Гинзбурга—Ландау.

Граничные условия к этим уравнениям получаются из условия равенства нулю интегралов по поверхности в вариации Из (45,11), таким образом, получается граничное условие

(45,15)

где — вектор нормали к поверхности тела. Отметим, что в силу этого условия обращается в нуль, как и следовало, также и нормальная компонента тока (45,14): .

Что касается граничных условий для поля, то из уравнения (45,13) с учетом конечности j во всем пространстве (вплоть до поверхности тела) следует непрерывность тангенциальной компоненты индукции В. Из уравнения же

следует непрерывность нормальной составляющей индукции Другими словами, граничные условия требуют непрерывности всего вектора В.

В слабом магнитном поле можно пренебречь его влиянием на и считать равным постоянному вдоль тела значению (45,6). Тогда подстановка (45,14) в (45,13) (и последующее применение операции к обоим сторонам уравнения) приводит к уравнению Лондонов (44,11) с глубиной проникновения

Наряду с этим размером уравнения Гинзбурга — Ландау содержат еще одну характерную длину: корреляционный радиус флуктуаций параметра порядка (в отсутствие поля); обозначим его через . По известным формулам теории флуктуаций (см. V § 146), этот радиус выражается через коэффициенты в свободной энергии (45,3) согласно

Характерными длинами (45,16-17) определяется порядок величины расстояний, на которых существенно меняется параметр порядка и магнитное поле, описываемые уравнениями Гинзбурга—Ландау. При этом длина характерна, вообще говоря, для магнитного поля, а длина - для распределения . Обе эти длины должны быть велики по сравнению с «размерами пары» для того, чтобы выполнялось предположение о достаточной медленности изменения всес величин в пространстве. Поскольку обе длины возрастают при приближении к точке перехода (по закону ), то вблизи нее это условие, вообще говоря, выполняется (см. ниже).

Важное значение в излагаемой теории играет параметр Гинзбурга—Ландау, определяемый как постоянное (не зависящее от температуры) отношение двух указанных длин:

По порядку величины , где - длина когерентности (39,21), а 80 — лондоновская глубина проникновения при абсолютном нуле. Укажем также формулу

(45,19)

получающуюся с помощью (45,9) и (45,16) и выражающую и непосредственно через наблюдаемые величины.

Установив вид уравнений, обсудим теперь вопрос об области их применимости.

Со стороны низких температур эта область во всяком случае ограничена условием позволяющим считать параметр порядка малым и тем самым лежащим в основе всего произведенного разложения свободной энергии. Этим же условием обеспечивается соблюдение неравенства но для соблюдения неравенства условие оказывается более жестким в случае сверхпроводников с малыми значениями параметра в этих случаях из неравенства следует условие

(45,20)

Со стороны же применимость уравнений ограничена лишь общим условием применимости теории фазовых переходов Ландау, связанным с возрастанием флуктуаций параметра порядка. В данном случае, однако, это условие оказывается чрезвычайно слабым. Действительно, оно выражается через коэффициенты разложения (45,3) неравенством

(см. V (146,15)). Оценив, например, выражение в правой стороне с помощью значений b и а в модели БКШ, получим

(45,21)

Ввиду крайней малости отношения можно считать, что это условие выполняется практически вплоть до самой точки перехода.

Флуктуационная же область для перехода второго рода между сверхпроводящей и нормальной фазами практически отсутствует.

Задача

Для плоской пленки с толщиной найти критическое значение магнитного поля (параллельного плоскости пленки), разрушающего сверхпроводимость (В. Л. Гинзбург, Л. Д. Ландау, 1950).

Решение. Выберем серединную плоскость пленки в качестве плоскости с осью х вдоль направления поля. В уравнении (45,13) для поля (меняющегося по оси у поперек пленки) можно считать . Тогда первый член в выражении тока (45,14) исчезает и применение операций к (45,13) приводит к уравнению , где Симметричное по у решение этого уравнения

( - внешнее поле). Этому полю отвечает распределение тока

В уравнении же (45,12) зависимостью от g полностью пренебречь нельзя: малая производная фактически умножается здесь на и тем самым приобретает большой (в силу условия ) множитель в то же время в этом уравнении можно пренебречь потенциалом приводящим здесь к членам более высокого порядка малости по Чтобы избавиться от необходимости рассмотрения зависимости от , усредним уравнение (45,12) по толщине пленки; производные по у при этом выпадут в силу граничного условия на поверхности пленки. Заметив также, что

в силу зависимости фазы функции от (и связи ее градиента с током) найдем, после сокращения на

где

Использовав также выражения (45,9) и (45,16), придем к уравнению

определяющему значение для пленки в магнитном поле.

Критическое значение поля для пленки есть то, при котором обращается в нуль. Оно связано с критическим полем Не массивного сверхпроводника равенством

В рассмотренных условиях разрушение сверхпроводимости полем происходит путем фазового перехода второго рода: обращается в нуль при увеличении непрерывным образом. Это вполне естественно, поскольку при поле фактически проникает в сверхпроводящую пленку, так что нет причин для перехода первого рода, который как раз и состоял бы во внезапном проникновении поля в тело.