§ 21. Гриновская функция почти идеального ферми-газа

Для иллюстрации способа применения диаграммной техники в этом параграфе мы применим ее к вычислению гриновской функции почти идеального ферми-газа в рамках той же модели, которая была рассмотрена в § 6 с помощью обычной теории возмущений (В. М. Галицкий, 1958). Напомним, что речь идет о газе с отталкиванием между частицами, причем описанный в § 6 прием позволяет применять к этому взаимодействию теорию возмущений до тех пор, пока в окончательный результат вычисления входит только амплитуда рассеяния.

Как было показано в § 14, нахождение функции Грина сводится к вычислению собственно-энергетической функции . В первом и втором приближениях теории возмущений она дается совокупностью диаграмм (14,9) и (14,10). Изобразим их здесь следующим образом:

Диаграммы (21,1а-б) охватывают собой диаграммы первого порядка (14,10а) и (14,9а) и диаграммы второго порядка (14,106-в) и (14,96-в); последние отличаются от первых лишь поправками к внутренней сплошной линии; эти линии изображены в (21,1 а-б) жирными и им должны сопоставляться, следовательно, не гриновские функции идеального газа , а функции G, исправленные до членов первого порядка. Наконец, (21,1 в-г) это диаграммы второго порядка (14,10 г-д). Все диаграмы деформированы так, что становится ясным характер их структуры; это — первые члены «лестничного» ряда четырехконцевых диаграмм, в которых по паре из внешних линий «закорочены» друг с другом двумя различными способами.

Начнем с вычисления диаграммы (21,1а). Ее аналитическое выражение

(общий множитель опущен).

Произведем сначала интегрирование по Поскольку, однако, множитель от не зависит, при необходимо предварительно уточнить способ интегрирования. Для этого надо вернуться к происхождению диаграммы (21,1а) и заметить, что сплошная линия в ней соответствует свертке пары операторов внутри одного и того же оператора V. Это значит, что f и берутся в одинаковый момент времени, и при свертывании стоит слева от Р. Другими словами, в координатном представлении возникающая G-функция берется при . В импульсном же представлении это означает добавление в подынтегральном выражении в (21,2) множителя с переходом к пределу Использовав теперь формулу (7,20), получим

где -функция распределения частиц.

Фурье-компонента существенно зависит от величины q лишь при где — радиус действия поля ; эти значения заведомо велики (для разреженного газа) по сравнению с Если ограничиться значениями то при указанных значениях q будет Поэтому в (21,3) можно заменить на и вынести из-под знака интеграла. Оставшийся интеграл равен половине (заданное значение проекции спина!) плотности газа так что

Диаграмма же (21,16) с замкнутой на себя сплошной линией дает Таким образом, вклад в от обоих диаграмм есть

где а — длина рассеяния, определенная согласно (6,2).

Выражение (21,4) содержит в себе, в частности, весь эффект первого порядка. В этом приближении надо понимать как плотность идеального газа так что

Для дальнейшего вычисления введем, в качестве промежуточного обозначения, функцию F, определенную лестничными диаграммами:

(как всегда, ). В аналитическом виде

где

Раскрыв обе диаграммы (21,1в-г) и выразив их через получим

(21,10)

(такие же интегралы с вместо дают (21,5)). Разница знаков перед двумя интегралами связана с наличием замкнутой петли в диаграмме (21,1 г); - множители в первой диаграмме дают во второй.

Перейдем к вычислению Поскольку не зависит от то интегрирование по сводится к интегралу

Подставив сюда из (9,9) (и учитывая сходимость интеграла при ), замыкаем путь интегрирования бесконечно удаленной полуокружностью в одной из полуплоскостей комплексного интеграл отличен от нуля, лишь если полюсы двух функций лежат в различных полуплоскостях, т. е.

(21,11)

В результате получим

(где ).

При этом, чтобы автоматически учесть требование (21,11), в числителе подынтегрального выражения следует заменить

где — ступенчатая функция (1,10).

Мы видели в § 16, что ряд лестничных диаграмм определяет (в вакууме) амплитуду взаимного рассеяния двух частиц. Поэтому выражение (21,12) содержит в себе поправку к членам первого порядка в амплитуде рассеяния. Эту поправку можно учесть, заменив в (21,8)

(где - точная до второго порядка амплитуда рассеяния в вакууме) и одновременно вычтя из выражения (21,12) вещественную часть его значения в вакууме, т. е. при и значениях отвечающих энергиям двух реальных сталкивающихся частиц («физические» внешние концы диаграмм). После этого можно уже будет заменить — значением при нулевой энергии, т. е. длиной рассеяния Таким образом, будем иметь

Знак Р во втором члене означает, что интеграл берется в смысле главного значения; это — результат отделения вещественной части интеграла с помощью правила (8,11).

Поскольку выражение (21,13) симметрично по оба интеграла в (21,10) совпадают, так что

При подстановке сюда первого члена из (21,13) интеграл по отличен от нуля, если

(21,14)

так что оба полюса подынтегрального выражения снова находятся в разных полуплоскостях При подстановке же второго члена из (21,13) от будет зависеть только множитель интегрирование по осуществляется формулой (7,23) и дает -функцию распределения частиц в идеальном газе, т. е. ступенчатую функцию . В результате получим (собрав вклады от всех диаграмм (21,1 а-г))

(21,15)

где

(множитель ) в числителе первого члена под знаком интеграла заменяет собой — при условии (21,14)).

Заметим прежде всего, что 2 имеет мнимую часть. Она выделяется из (21,16) с помощью правила (8,11) и дается выражением

(21,17)

(выражение в фигурных скобках преобразовано с учетом того, что ).

Спектр энергий квазичастиц вычисляется, согласно (14,13), как

(21.18)

(в можно, с требуемой точностью, положить Комплексность означает наличие затухания у возбуждений ).

Появление этого затухания выражает неустойчивость квазичастиц, связанную с возможностью реального процесса их распада. Квазичастица может отдать часть своей энергии за счет которой рождается пара квазичастиц (частица и дырка).

Рассмотрим, например, первый член в фигурных скобках под интегралом в (21,17). По свойствам ступенчатой функции этот член отличен от нуля, если

Эти неравенства отвечают процессу, в котором квазичастица с начальным импульсом ) переходит в состояние ), причем импульс передается частице внутри ферми-сферы (импульс ), возбуждаемой до состояния с импульсом вне ферми-сферы; такой переход эквивалентен появлению двух новых элементарных возбуждений — с импульсами — q (дырка) и . Закон сохранения энергии в этом процессе выражается -функцией в (21,17), в которой играет роль начальной энергии квазичастицы ):

(здесь достаточно положить, в первом приближении, ). В соответствии с указанным смыслом, определенная этим равенством энергия действительно отвечает квазичастице вне ферми-сферы ).

Аналогичным образом, второй член в фигурных скобках в (21,17) возникает от процессов, в которых пара рождается дыркой. Этот член дает затухание элементарных возбуждений с На языке диаграммной техники возможность рождения пары квазичастицей выражается возможностью рассечь диаграмму -функции на две части путем пересечения ее по хрем сплошным линиям, из которых две направлены в одну, а третья — в другую сторону. На диаграммах (21,1 в-г) таковы сечения, проходящие между двумя пунктирами.

Случай слабо неидеального газа специфичен (по сравнению с общим случаем произвольной ферми-жидкости) в том отношении, что спектр квазичастиц в нем имеет смысл во всей области значений импульсов, а не только вблизи ферми-поверхности: затухание квазичастиц оказывается относительно малым уже благодаря малости «параметра газовости» . Мы приведем здесь, однако, окончательный результат вычислений лишь для двух предельных случаев.

Вблизи ферми-поверхности получается

с из (6,14) и из (6,17). Для затухания же квазичастиц получается

(21,19)

Пропорциональность этого выражения квадрату имеет ясное происхождение: один множитель возникает как ширина той области импульсного пространства (узкий шаровой слой), в которую попадает импульс квазичастицы после рождения ею пары, а еще один такой множитель как ширина слоя, в котором рождается пара. Отметим, кстати, что эти соображения относятся и к любой ферми-жидкости, так что вблизи ферми-поверхности всегда

При больших импульсах (но все же ) имеем

В обоих случаях отношение мало. Максимальное значение этого отношения достигается при , но и здесь оно

Наконец, приведем значение перенормировочной постоянной функции Грина слабо неидеального газа. Она вычисляется как

и равна

(21,21)