§ 44. Сверхпроводящий ток

Двум видам движения в электрически нейтральной сверхтекучей жидкости (жидкий гелий) отвечают в случае сверхпроводящего металла два вида электрических токов, могущих протекать в нем одновременно. Сверхпроводящий ток не переносит тепла и не сопровождается диссипацией энергии и может иметь место в термодинамически равновесной системе; нормальный же ток связан с выделением джоулева тепла. Будем обозначать плотности сверхпроводящего и нормального токов как полная плотность тока .

Ряд важных заключений о свойствах сверхпроводящего тока можно сделать безотносительно к какой-либо частной модели уже из самого факта появления новой макроскопической величины конденсатной волновой функции .

Как и в § 26, введем фазу Ф этой функции:

Подобно тому как в жидком гелии градиент фазы Ф определяет, согласно (26,12), скорость сверхтекучего движения , так в сверхпроводнике градиент фазы определяет наблюдаемую в этом случае величину плотность сверхпроводящего тока.

Ввиду анизотропии металла направление j не совпадает, вообще говоря, с направлением и связь между компонентами этих векторов задается некоторым тензором второго ранга. Во избежание непринципиальных усложнений, однако, мы ограничимся здесь случаем кубической симметрии металлического кристалла.

Тогда тензор второго ранга сводится к скаляру, а связь между и простой пропорциональности. Запишем ее в виде

где, по определению, -заряд электрона, а — его (истинная) масса. Определенную таким образом величину (функция температуры) называют плотностью числа сверхпроводящих электронов; эта величина играет здесь роль, аналогичную плотности сверхтекучей компоненты в жидком гелии. Подчеркнем, что она отнюдь не совпадает с плотностью конденсата куперовских пар подобно тому, как в жидком гелии не совпадает с плотностью конденсатных атомов.

Формула (44,2) (как и формула (26,12) для жидкого гелия) предполагает достаточную медленность изменения фазы в пространстве. В то время, однако, как в случае бозе-жидкости требовалось малость изменения Ф лишь на межатомных расстояниях, здесь условие оказывается значительно более сильным. Роль характерного размера для сверхтекучей ферми-жидкости играет длина когерентности и фаза Ф должна мало меняться именно на таком расстоянии (большом по сравнению с межатомными).

Связь между усложняется, если сверхпроводник находится во внешнем магнитном поле; мы рассмотрим здесь случай постоянного (во времени) поля. Необходимые изменения, которые надо внести в формулу (44,2), можно выяснить исходя из требования калибровочной инвариантности теории.

Это требование состоит в том, что все наблюдаемые физические величины должны оставаться неизменными при калибровочном преобразовании векторного потенциала магнитного поля:

где — произвольная функция координат. При этом операторы преобразуются по закону, совпадающему с законом преобразования волновых функций:

где — заряд частиц, описываемых -оператором (см. III (111,9)). Гриновские же функции , как матричные элементы произведений или преобразуются согласно

При этом

т. е. фаза конденсатной волновой функции

Соотношение (44,2) не инвариантно по отношению к такому преобразованию фазы. Для достижения требуемой инвариантности оно должно быть дополнено членом, содержащим векторный потенциал магнитного поля:

В удвоении заряда (во втором члене в скобках) проявляется спаривание электронов в сверхпроводнике.

Уже это выражение достаточно для того, чтобы объяснить основное макроскопическое свойство сверхпроводника вытеснение из него магнитного поля (эффект Мейсснера).

Рассмотрим однородный сверхпроводник, находящийся в слабом магнитном поле, — величина поля предполагается малой по сравнению с критическим полем разрушающим сверхпроводимость. Этим условием исключается существенное влияние магнитного поля на величину Пусть тело находится в термодинамически равновесном состоянии, так что нормальный ток отсутствует и поэтому Применив теперь к обоим сторонам равенства (44,7) операцию и заметив при этом, что — магнитная индукция в теле, получим уравнение Лондонов

Это уравнение специфично для сверхпроводника. Используем также и общие уравнения Максвелла

(44,10)

Подставив j из (44,9) в (44,8) и заметив, что в силу получим уравнение для магнитного поля в сверхпроводнике

(44,11)

где введено обозначение

(44,12)

Найдем с помощью этого уравнения распределение поля в сверхпроводнике вблизи его поверхности, которую будем считать плоской; эту плоскость выбираем в качестве плоскости а ось х направим внутрь тела. В этих условиях распределение поля зависит только от одной координаты х, и из (44,10) имеем из (44,11) автоматически следует тогда, что и Уравнение (44,11) принимает теперь вид откуда

(44,13)

где вектор § параллелен поверхности.

Мы видим, что магнитное поле экспоненциально затухает в глубь сверхпроводника, проникая в него лишь на расстояния

Эта длина макроскопична, но мала по сравнению с обычными размерами массивных образцов (), так. что поле проникает фактически лишь в тонкий поверхностный слой. Длину называют лондоновской глубиной проникновения поля. Подчеркнем, что она является непосредственно измеримой величиной, имеющей вполне определенный смысл, — в отличие от условного смысла параметра

Произведенный вывод нуждается, однако, в существенной оговорке. Исходная формула (44,7) применима лишь при условии достаточной медленности изменения всех величин в пространстве: характерные расстояния, на которых происходит существенное их изменение, должны быть велики по сравнению с длиной когерентности . В данном случае это значит, что должно быть

(44,14)

Это требование, разумеется, не бросает тени на самое доказательство факта вытеснения поля из сверхпроводника: предположение о невытеснении поля привело бы к логическому противоречию, так как его изменение в таком случае было бы заведомо медленным и уравнение (44,11) было бы применимо. Но конкретное уравнение (44,11) и следующий из него закон затухания, поля (44,13) справедливы только при соблюдении условия (44,14).

Ситуацию, когда в сверхпроводнике выполняется неравенство , называют лондоновской. В обратной же ситуации, когда говорят о пиппардовском случае (закон затухания поля в глубь сверхпроводника в этом случае будет рассмотрен в § 52). При плотность сверхпроводящих электронов так что Поэтому в достаточной близости к точке перехода ситуация всегда лондоновская. Но при соотношение между зависит от конкретных свойств металла.

Наконец, рассмотрим еще одно следствие выражения (44,7), не зависящее от соотношения между

Как известно из макроскопической электродинамики сверхпроводников, если через отверстие сверхпроводящего тора проходит магнитный поток, то этот поток остается постоянным при любых изменениях состояния тела (не нарушающих его сверхпроводимости); при этом предполагается, что тор массивен — его диаметр и толщина велики по сравнению с длиной когерентности и глубиной проникновения поля.

Покажем, что величина «вмерзшего» в отверстие тора магнитного потока может быть лишь целым кратным некоторого элементарного «кванта потока» (F. London, 1954).

В толще тела (вне области проникновения поля) плотность тока векторный же потенциал отличен от нуля — равен нулю лишь его ротор, т. е. магнитная индукция В. Выбррем какой-либо замкнутый контур С, охватывающий собой отверстие тора и проходящий внутри тела вдали от его поверхности; таким выбором обеспечивается соблюдение условия применимости формулы (-достаточная медленность изменения фазы Ф и потенциала А в пространстве. Циркуляция вектора А вдоль контура С совпадает с потоком магнитной индукции через натянутую на контур поверхность, т. е. потоком через отверстие тора:

С другой стороны, приравняв выражение (44,7) нулю и проинтегрировав его по контуру, получим

где - изменение фазы волновой функции при обходе контура. Но из требования однозначности этой функции следует, что изменение фазы может быть Лишь целым кратным от Таким образом, мы приходим к результату

(44,15)

где — целое число. Величина представляет собой элементарный квант магнитного потока.

Квантование магнитного потока имеет также и другой аспект: оно приводит к дискретности значений полного тока J, который может протекать (в отсутствие внешнего магнитного поля) по сверхпроводящему кольцу. Действительно, ток J создает магнитный поток через отверстие кольца, равный где - коэффициент самоиндукции. Приравняв этот поток находим, что ток может иметь значения

В противоположность кванту магнитного потока, «квант полного тока» зависит (вместе с самоиндукцией L) от формы и размеров кольца.

Задача

Определить магнитный момент сверхпроводящего шарика радиуса находящегося в магнитном поле, в лондоновской случае.

Решение. При можно считать магнитное поле внутри шарика постоянным и равным внешнему полю Если выбрать векторный потенциал в виде то можно положить просто

(т. е. положить в (44,7) Ф = 0); граничное условие исчезновения нормальной составляющей тока на поверхности шарика выполняется тогда автоматически. Магнитный момент вычисляется как интеграл

по объему шарика и равен