Главная > Теоретическая физика. Т. IX. Теория конденсированного состояния
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 60. Симметрия состояний электрона в решетке в магнитном поле

В этом параграфе мы рассмотрим точные общие свойства трансляционной симметрии волновых функций блоховского электрона в магнитном поле, не связанные с каким-либо приближением (вроде условия слабости поля или условия квазиклассичности).

Наложение однородного магнитного поля не меняет физической трансляционной симметрии Системы: она остается периодической в пространстве. Своеобразие ситуации состоит, однако, в том, что в то же время гамильтониан электрона (56,2) теряет свою симметрию. Это связано с тем, что в гамильтониан входит не постоянная напряженность Н, а векторный потенциал , зависящий от координат и не обладающий периодичностью.

Неинвариантность гамильтониана приводит, естественно, к усложнению закона преобразования волновых функций при трансляциях. Выберем для векторного потенциала однородного поля калибровку

и пусть — некоторая собственная функция гамильтониана . При трансляции (а—какой-либо из периодов решетки) эта функция переходит в но это будет уже собственная функция гамильтониана , не совпадающего с , поскольку произошла замена векторного потенциала

Для нахождения искомого закона преобразования надо вернуться к исходному гамильтониану, что достигается калибровочным преобразованием

При этом волновая функция преобразуется согласно (56,4):

Обозначив результат всех этих операций как находим, таким образом,

где назовем оператором магнитной трансляции. Если - решение уравнения Шредингера , то и (60,2) есть решение того же уравнения, относящееся к той же энергии (R. Peierls, 1933).

Из определения (60,2) легко заключить, что

При перестановке а и а' показатель степени в множителе меняет знак; поэтому операторы и , вообще говоря, не коммутативны:

Таким образом, произведение двух операторов отличается вообще говоря, фазовым множителем от оператора По математической терминологии это означает, что операторы Та осуществляют не обычное, а проективное представление группы трансляций; базисом этих представлений являются волновые функции стационарных состояний блоховского электрона в магнитном полег). Классификация уровней энергии должна производиться, следовательно, по неприводимым проективным представлениям группы трансляций, подобно тому как в отсутствие поля она производится по неприводимым обычным представлениям этой группы.

Напомним в этой связи, что группа трансляций — абелева (все ее элементы коммутативны), а потому все ее неприводимые обычные представления одномерны. Функция базиса каждого такого представления при трансляции лишь умножается на некоторый фазовый множитель, причем для двух последовательных трансляций этот множитель должен быть равен произведению множителей для каждой трансляции в отдельности. Это значит, что

где к — постоянный вектор; этот вектор (квазиимпульс электрона) оказывается параметром, классифицирующим неприводимые представления.

Полная классификация неприводимых проективных представлений группы трансляции может быть произведена (Е. Brown, 1964; J. Zak, 1964) в случае, когда магнитное поле удовлетворяет условию

где — любые два взаимно простых целых числа; -один из трех произвольно выбранных основных периодов решетки — объем элементарной ячейки решетки).

Другими словами, магнитное поле должно быть направлено вдоль какого-либо периода решетки, а величина должна быть рациональным числом. Умножив равенство (60,5) на можно представить это условие также и в виде

Для классификации неприводимых проективных представлений группы трансляций существенно, что из этой группы можно выделить подгруппу (будем называть ее магнитной), по отношению к которой представление является не проективным, а обычным. При соблюдении условия (60,6) такой подгруппой является совокупность трансляций вида

(60,7)

с целочисленными коэффициентами . Действительно, когда вектор h направлен вдоль и удовлетворяет условию (60,6), для всех трансляций такого вида показатель экспоненты в (60,3) обращается в нуль или в кратное от так что все множители Совокупность трансляций (60,7) образует решетку с основными периодами (назовем ее магнитной). Магнитная же обратная решетка соответственно имеет периоды где — периоды основной обратной решетки.

Обычные неприводимые представления магнитной подгруппы, как и группы трансляций в целом, одномерны; они характеризуются волновыми векторами (квазиимпульсами) К, все неэквивалентные значения которого заключены в одной ячейке магнитной обратной решетки.

Пусть - функция базиса одного из таких представлений с квазиимпульсом . Для нее

При трансляции же на период (не входящий в магнитную подгруппу) получим из функцию с другим квазиимпульсом. Для его определения пишем, используя (60,4) и (60,8):

или окончательно

где

(в последнем равенстве подставлено (60,5) и введен период обратной решетки Далее надо различать случаи нечетных и четных значений .

Пусть q-нечетное число. Повторив трансляцию на еще раз, получим всего q различных функций с квазиимпульсами

Вычитанием надлежащего целого кратного вектора эти значения приводятся (в той или иной последовательности) к значениям

(60,10)

Эти q функций и осуществляют -мерное неприводимое проективное представление группы трансляций. Мы получим все неэквивалентные представления, когда К пробегает значения в ячейке со сторонами (квазиимпульсы же ), пробегают при этом значения в ячейке со сторонами

Пусть теперь -четное число. Тогда в последовательности (60,9) уже значение, равное отличается от К лишь целым кратным периодов обратной решетки b. Другими словами, имеется всего неэквивалентных значений k; они даются выражением (60,10) с вместо q. Таким образом, в этом случае неприводимые представления -мерны, причем К пробегает значения в ячейке со сторонами .

Эти результаты позволяют сформулировать следующее заключение о характере изменения энергетического спектра электрона в решетке при наложении на нее магнитного поля (удовлетворяющего условию (60,5)). В отсутствие поля спектр состоит из дискретных энергетических зон, в каждой из которых энергия является функцией квазиимпульса, пробегающего значения в одной ячейке обратной решетки.

При наложении поля такая зона расщепляется на q подзон, в каждой из которых все уровни энергии вырождены с кратностью q при нечетном или при четном q. Энергия в подзоне может быть выражена как функция вектора К, пробегающего значения в 1/2-й (при нечетном q) или (при четном q) части ячейки обратной решетки.

Описанная картина в определенном смысле крайне чувствительна к величине и направлению магнитного поля. Действительно, сколь угодно близко к значению Н, удовлетворяющему условию (60,5) с некоторыми , лежат значения, удовлетворяющие такому же условию, но с гораздо большими q, так что путем сколь угодно малого изменения поля число подзон можно сделать сколь угодно большим. Подчеркнем, однако, что это отнюдь не означает такой же неустойчивости в наблюдаемых физических свойствах. Последние определяются не столько конкретной зонной структурой, сколько распределением числа состояний по малым, но конечным интервалам энергий; это распределение мало меняется при малом изменении поля. Дело в том, что сильно меняется не энергия состояний, а лишь их классификация ввиду изменения области определения квазиимпульса.

1
Оглавление
email@scask.ru