Главная > Теоретическая физика. Т. IX. Теория конденсированного состояния
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 15. Двухчастичная функция Грина

К другим важным понятиям диаграммной техники мы придем, рассмотрев усредненное по основному состоянию Т-про-изведение четырех гейзенберговских -операторов

Эту функцию называют двухчастичной функцией Грина (в отличие от функции Грина (7,9), называемой в этой связи одночастичной).

Для применения теории возмущений и построения диаграммной техники надо снова перейти к операторам в представлении взаимодействия. Как и в случае функции G, это приведет к появлению множителя S под знаком Т-произведения:

В нулевом приближении (т. е. при ) это выражение распадается на сумму произведений двух сверток, выражающихся через -функции:

Дальнейшее обсуждение свойств определенной таким образом двухчастичной функции Грина будем проводить в импульсном представлении.

Для однородной системы функция зависит фактически лишь от трех независимых разностей аргументов, например, от . В импульсном представлении это свойство выражается тем, что компонента разложения Фурье по всем переменным содержит -функцию:

В этом легко убедиться, заметив, что

и перейдя к интегрированию по .

Отметим, кстати, что формулу обратного фурье-преобразования можно записать как

Определенную таким образом функцию мы и будем называть двухчастичной функцией Грина в импульсном представлении; ее аргументы связаны равенством

В нулевом приближении имеем для нее (в соответствии с (15,3))

т. e. К сводится к сумме двух произведений одночастичных гриновских функций.

В следующих приближениях теории возмущений появляются члены, сводящиеся к введению поправок к этим одночастичным функциям. Наряду с ними, однако, возникают также и члены, не укладывающиеся в произведения G-функций. Именно эта часть двухчастичной функции Грина представляет самостоятельный интерес. Для ее выделения представим К в виде

Определенную таким образом функцию Г называют вершинной функцией.

Согласно определению (15,1), двухчастичная функция Грина в пространственно-временном представлении антисимметрична по отношению к перестановкам аргументов (вместе со спиновыми индексами) первой и второй пары: 1 и 2 или 3 и 4. Отсюда следует аналогичное свойство симметрии для функции Грина и вершинной функции в импульсном представлении:

Смысл выделения четырех G-множителей в определении Г (последний член в (15,7)) становится ясным, если проследить за характером диаграмм, возникающих при раскрытии выражения (15,2) для двухчастичной функции Грина.

Следующие ниже рассуждения снова предполагают парное взаимодействие между частицами.

В нулевом приближении функции К сопоставляются диаграммы

отвечающие двум членам в (15,6). В первом порядке теории возмущений появляются диаграммы типовх)

представляющие собой поправки к каждому из отдельных множителей в (15,6). Кроме них, однако, появляются также диаграммы, не разбивающиеся на две отдельные части:

Четыре стрелки отвечают четырем G-множителям в последнем члене в (15,7), а «внутренняя» часть диаграмм определяет (в первом порядке) вершинную функцию — кружок в левой стороне диаграммного равенства (15,9). Раскрыв эти диаграммы в аналитическом виде, получим

Диаграммы более высоких порядков содержат поправки трех категорий: 1) дальнейшие поправки к двум не соединенным между собой сплошным линиям, 2) поправки собственно-энергетического типа к концевым линиям на диаграммах (15,9), 3) поправки, образующие фигуру, заменяющую собой пунктирную линию на диаграммах (15,9); сумма всех возможных таких фигур и дает точную вершинную функцию

В графическом представлении двухчастичной функции Грина суммой скелетных диаграмм

(15,10)

жирные линии изображают точные G-функции, а кружок условно обозначает вершинную функцию.

Вычисление вершинной функции в различных порядках теории возмущений должно производиться по сформулированным в § 13 правилам диаграммной техники, причем должны рассматриваться диаграммы с четырьмя внешними концами (а не с двумя, как при вычислении G). Правило 3), определяющее общий знак диаграммы, должно быть дополнено следующим указанием: если непрерывными последовательностями сплошных линий связаны концы 1 с 4 и 2 с 3 (вместо 1 с 3 и 2 с 4), то знак диаграммы меняется на обратный.

Изобразим, для примера, все диаграммы, определяющие вершинную функцию во втором порядке теории возмущений:

Собственно-энергетическая и вершинная функции (2 и Г) не независимы; они связаны друг с другом определенным интегральным уравнением (так называемым уравнением Дайсона).

Для его вывода воспользуемся уравнением (9,5), справедливым (как было отмечено там же) и при учете взаимодействия частиц. Разница по сравнению с выводом в § 9 состоит, однако, в том, что теперь -оператор удовлетворяет уравнению (7,8). Опустив в последнем член с внешним полем и подставив из него производную . В (9,5), получим

(15,12)

Это равенство решает, в принципе, поставленный вопрос, так как К выражается через Г согласно (15,7). Остается лишь перейти к импульсному представлению. Для этого умножим равенство (15,12) на и проинтегрируем по представив в виде (15,5), а в виде (13,9). Тогда интегрирование по 4-координатам дает -функции, которые устраняются интегрированием по 4-импульсам. В результате получим

(15,13)

Теперь осталось выразить К через Г. Подставив (15,7) в (15,13), получим окончательно уравнение Дайсона в виде

(15,14)

Здесь — точная плотность системы как функция ее химического потенциала; этот множитель возникает от интегрирования G-функции по формуле (7,24) (при этом учитывается, что данная G-функция возникла от свертки, в которой стоит слева от ). Отметим, что первый член в правой стороне уравнения (15,14) есть (14.11).

1
Оглавление
email@scask.ru