§ 77. Электромагнитные флуктуации в неограниченной среде

В однородной неограниченной среде функции зависят только от разности причем четны по этой переменной (уравнение (75,15) содержит только вторые производные по координатам, и потому удовлетворяют одному и тому же уравнению). Взяв фурье-компоненты по от обеих сторон равенства (76,2), получим

Для немагнитоактивных сред, с учетом (75,12), эта формула записывается в виде

В изотропной немагнитной среде функция () дается формулой (75,20). Задача же об определении пространственной корреляционной функции флуктуаций сводится к вычислению интеграла

Интегрирование осуществляется формулами

из которых первая получается путем взятия компонент Фурье от известного равенства

а вторая получается дифференцированием первой. В результате найдем

(77,6)

где , а корень должен быть взят с таким знаком, чтобы было для пустоты надо положить (см. ниже).

Отсюда, согласно (76,6) и (76,3), сразу находим

(С. М. Рытов, 1953). Свернув это выражение по индексам i, k (и воспользовавшись формулой (77,5)), получим

Аналогичным образом, вычисление по формуле (76,4) приводит к выражениям для корреляционных функций магнитного поля, отличающихся от (77,7-8) отсутствием множителя перед квадратной скобкой; при этом член с -функцией под знаком в (77,8) становится вещественным и выпадает из ответа. Связь выражений (77,7-8) с мнимой частью ясно подчеркивает связь электромагнитных флуктуаций с поглощением в среде. Но если произвести переход к пределу в формулах (77,7-8), мы получим конечные, отличные от нуля выражения.

Это обстоятельство связано с порядком перехода к двум пределам — бесконечным размерам среды и равной нулю . Поскольку в бесконечной среде уже сколь угодно малое приводит в конце концов к поглощению, то при использованном нами порядке перехода к пределам получающийся результат относится к физически прозрачной среде, в которой, как и во всякой реальной среде, сколько-нибудь отличное от нуля поглощение все же имеется.

Произведем, например, указанный переход в формуле (77,8). Для этого замечаем, что при малом положительном (при )

(с учетом требования ). Поэтому в пределе получим

где — вещественный показатель преломления. Ввиду отсутствия члена с -функцией это выражение остается конечным и при совпадающих точках :

(77,10)

Предельный переход к случаю прозрачной среды можно было бы произвести и на более ранней стадии вычислений — в гриновской функции. Учтя, что знак совпадает со знаком , найдем, что в этом пределе функция (75,20) принимает вид

(М. И. Рязанов, 1957). Мнимая часть этой функции связана только с правилом обхода полюсов отделив ее с помощью формулы (8,11) и подставив в (77,2), получим

Аргументы -функций в этом выражении имеют простой физический смысл: они показывают, что флуктуации поля с заданным значением к распространяются в пространстве со скоростью совпадающей со скоростью распространения электромагнитных волн в данной среде. Фурье-обращением выражения (77,12) можно, разумеется, снова получить (77,7).

Энергия флуктуационного электромагнитного поля в прозрачной среде в спектральном интервале дается (в единице объема пространства) выражением

(см. VIII § 61). Подставив сюда (77,10), получим после простого преобразования

Первый член в скобках связан с нулевыми колебаниями поля. Второй же член дает энергию термодинамически равновесного электромагнитного излучения в прозрачной среде, т. е. энергию черного излучения. Эту часть формулы можно было бы получить и без рассмотрения флуктуаций, путем соответствующего обобщения формулы Планка для черного излучения в пустоте. Согласно последней, энергия черного излучения (в единице объема) в интервале волновых векторов дается формулой

(множитель учитывает два направления поляризации). Соответственно для получения спектральной плотности энергии надо заменить на и подставить . Для перехода же от пустоты к прозрачной среде достаточно положить т. е. написать

что и дает требуемый результат.