§ 62. Гриновская функция электронов в металле

Проведенное в §§ 56—58 рассмотрение относилось к движению одного электрона в решетке, на которую наложено еще внешнее магнитное поле. Покажем теперь, что полученные при этом результаты остаются по существу справедливыми и для квазичастиц (электронов проводимости) в электронной жидкости реального металла, — меняется лишь несколько определение входящих в соотношения величиною. А. Бычков, Л. П. Горьков, 1961; J. М. Luttinger, 1961). Подходящим математическим аппаратом для общего рассмотрения электронной жидкости является аппарат гриновских функций.

В главе II этот аппарат был развит для «свободной» ферми-жидкости. Выясним, в каких пунктах он должен быть изменен для жидкости в решетке.

Гриновская функция электронной жидкости (при температуре определяется через гейзенберговские операторы электронов той же формулой (7,9), где усреднение происходит по основному состоянию металла. В силу однородности времени эта функция зависит от аргументов только через их разность Пространственная же однородность нарушена теперь наличием внешнего по отношению к жидкости поля решетки. Поэтому гриновская функция зависит не только от разности Можно лишь утверждать, что она инвариантна относительно одновременного сдвига и на один и тот же (любой) период решетки. Ниже мы будем рассматривать гриновскую функцию в -представлении, т. е. введем ее фурье-компоненту по Именно эта функция позволяет, в принципе, определить энергетический спектр электронной жидкости в металле. Повторим (не производя вновь всех вычислений) применительно к данному случаю изложенные в § 8 рассуждения.

В § 8 было показано, что однородность системы позволяет полностью определить координатную зависимость матричных элементов операторов и тем самым позволяет записать общее выражение гриновской функции в пространственно-временном представлении в виде отсюда можно было затем перейти и к ее импульсному представлению в виде разложения (8,7).

Для электронной жидкости в решетке инвариантность матричных элементов, выражаемая равенством (8,3), имеет место только для трансляций на периоды решетки, т. е. при . Это приводит, естественно, к меньшей определенности в координатной зависимости: вместо (8,4) можно утверждать лишь, что

где

к — квазиимпульс состояния; — совокупность остальных характеризующих его квантовых чисел, а и и v — некоторые периодические в решетке функции координат (мы выписали матричные элементы только для переходов из основного состояния состояния 0). По своим свойствам функции аналогичны блоховским волновым функциям электрона в периодическом поле.

Выразив гриновскую функцию через эти матричные элементы и переходя затем к компонентам Фурье по времени (подобно тому, как это было сделано в § 8), получим теперь вместо формулы (8,7) разложение

с прежним смыслом обозначений во втором члене произведено переобозначение .

Наличие незатухающих одночастичных элементарных возбуждений вблизи ферми-поверхности металла проявляется в том, что при вблизи энергия состояния зависит только от k. Для таких состояний функция имеет полюс при Вблизи полюса она имеет вид

При наличии вырождения по спинам должно еще производиться суммирование по двум спиновым состояниям.

Определение энергетического спектра по гриновской функции сводится, в принципе, к задаче о собственных значениях некоторого .интегро-дифференциального линейного оператора.

Основные принципы диаграммной техники в координатном пространстве для рассматриваемого случая остаются теми же, что и в обычной ферми-жидкости. В частности, введя собственно-энергетическую функцию (как сумму определенной в § 14 совокупности диаграмм), можно записать гриновскую функцию . В виде ряда (14,3), который суммируется к диаграммному уравнению (14,4). Тонкая сплошная линия на этих диаграммах обозначает гриновскую функцию свободных электронов не взаимодействующих ни с другими электронами, ни с решеткой. Согласно (9,6), эта функция удовлетворяет уравнению

Применив слева к уравнению (14,4) оператор и перейдя затем к фурье-компонентам по времени, получим искомое уравнение

Вблизи полюса G-функции (по переменной ), правая сторона уравнения может быть опущена, и получается однородное интегро-дифференциальное уравнение, собственные значения которого и определяют энергетический спектр системы.

При этом индекс и переменная не затрагиваются никакими операциями, т. е. играют в уравнении роль несущественных параметров. Для определения спектра можно писать поэтому уравнение вида

Для электронной ферми-жидкости в металле оно заменяет собой обычное уравнение Шредингера. Его собственные значения определяют, как уже сказано, спектр согласно ; соответствующими же собственными функциями являются функции из (62,4) (как это очевидно из прямой подстановки (62,4) в (62,5)). Поскольку затухание возбуждений вблизи ферми-поверхности мало, оператор L при малых эрмитов (с точностью до членов порядка u).

Для перехода к случаю наличия слабого внешнего магнитного поля надо заметить, что при калибровочном преобразовании векторного потенциала -операторы преобразуются как волновые функции (ср. (44,3-4)), а потому гриновская функция преобразуется как произведение -функций Это значит, что и функция в (62,6) должна преобразовываться как обычная функция. Но, проследив за произведенными в § 56 рассуждениями, легко обнаружить, что в них использованы только периодичность решетки кристалла, общие свойства калибровочного преобразования и тот факт, что энергетический спектр определяется по собственным значениям некоторого гамильтониана; роль последнего играет в данном случае оператор L в (62,6). Поэтому ясно, что и результат правило перехода от спектра в отсутствие поля к спектру при наличии слабого поля будет тем же: новый спектр определяется по собственным значениям гамильтониана

где - спектр в отсутствие поля.

Разумеется, смысл самой функции теперь отличается от ее смысла в (56,7) — в ней учитывается коллективное взаимодействие всех электронов в системе.

Далее, поскольку проведенное в §§ 57, 58 рассмотрение квазиклассического случая целиком основывалось на существовании гамильтониана вида (62,7), то и эти результаты непосредственно переносятся на электронную жидкость. При этом, однако, возникает вопрос о том, что именно следует понимать под напряженностью поля, действующего на электрон проводимости (а тем самым и под векторным потенциалом А). Строго говоря, это должно быть точное микроскопическое значение поля, создаваемого в данной точке всеми электронами (и внешним полем). Но в квазиклассическом случае характерные размеры области, в которой происходит взаимодействие («ларморов радиус орбит»), велики по сравнению с порядком величины межэлектронных расстояний (совпадающим с постоянной решетки а). Это обстоятельство приводит к автоматическому усреднению микроскопического поля. Происхождение этого усреднения можно пояснить следующими рассуждениями.

Представим микроскопическую напряженность в виде суммы ее среднего значения (которое, по принятой в макроскопической электродинамике терминологии, есть магнитная индукция В) и быстро меняющейся части Н. Векторный потенциал, отвечающий однородному полю В, возрастает на всем протяжении размеров орбиты, принимая характерные значения Потенциал же, отвечающий осциллирующему на расстояниях полю Н, не возрастает систематически и набирает лишь значения которыми можно пренебречь по сравнению с Вгн-Между тем, как было объяснено в § 56, именно потенциал поля определяет квантование движения электронов. Таким образом, мы приходим к выводу, что достаточно учитывать лишь потенциал А однородной индукции , которая и будет играть роль действующего на электрон поля (D. Shoenberg, 1962). Мы увидим ниже (конец § 63), что это обстоятельство может привести к некоторым новым явлениям в намагничении металлов.

Таким образом, правило квазиклассического квантования (58,7) для электронной жидкости, в металле записывается как

где теперь — площадь сечения истинных изоэнергетических поверхностей электронов проводимости металла (близких к его ферми-поверхности).

Как и в задаче об одном электроне в решетке с центром инверсии, учет спина электронов проводимости приводит к расщеплению уровней в магнитном поле на две компоненты:

Величина представляет собой результат усреднения некоторой функции по квазиклассической траектории. При этом, с достаточной точностью, все траектории можно считать лежащими на самой ферми-поверхности, так что результат усреднения зависит только от . Подчеркнем, что для электронной ферми-жидкости отличие величины от единицы (ее значения для свободных электронов) связано не только со спин-орбитальным взаимодейстием, но и с обменным взаимодействием электронов друг с другом.