ГЛАВА VIII. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ФЛУКТУАЦИИ

§ 75. Гриновская функция фотона в среде

Приступая к изучению статистических свойств электромагнитного поля в материальных средах, напомним прежде всего, в чем заключается смысл, усреднений, которым подвергаются электромагнитные величины -в макроскопической электродинамике.

Если исходить, для наглядности, из классической точки зрения, то можно различать усреднение по физически бесконечно малому объему при заданном расположении всех частиц в нем и затем усреднение полученной величины по движению частиц. В уравнения Максвелла макроскопической электродинамики входят полностью усредненные величины. При рассмотрении же флуктуаций поля речь идет о колебаниях со временем величин, усредненных лишь по физически бесконечно малым объемам.

С квантовомеханической точки зрения говорить об усреднении по объему можно, разумеется, не для самой физической величины, а лишь для ее оператора; второй же шаг заключается в определении среднего значения этого оператора с помощью квантовомеханических вероятностей. Фигурирующие ниже в этой главе операторы поля будут пониматься как усредненные только в первом смысле.

Статистические свойства электромагнитного излучения в материальной среде описываются гриновской функцией фотона в среде. Для фотонов роль -операторов играют операторы потенциалов электромагнитного поля. Фотонные функции Грина определяются через эти операторы таким же образом, как они определяются для частиц через -операторы.

Потенциалы паля составляют -вектор , где скалярный, а А — векторный потенциалы. Выбор этих потенциалов в классической электродинамике неоднозначен: они допускают так называемое калибровочное преобразование, никак не отражающееся ни на каких наблюдаемых величинах (см. II § 18). Соответственно в квантовой электродинамике такая же неоднозначность имеет место в выборе операторов поля, а с ними — и в определении гриновских функций фотона.

Мы будем пользоваться калибровкой, в которой скалярный потенциал равен нулю:

так что поле определяется одним лишь векторным потенциалом. Такая калибровка обычно оказывается удобной для задач, в которых речь идет о взаимодействии электромагнитного поля с нерелятивистскими частицами, — как это и имеет место для поля в обычных материальных средах.

В этой калибровке функция Грина представляет собой трехмерный тензор второго ранга

( - трехмерные векторные индексы), где угловые скобки обозначают (как и в (36,1)) усреднение по распределению Гиббса для системы, состоящей из среды вместе с находящимся с ней в равновесии излучением; поскольку фотоны являются бозонами, то перестановка операторов при их хронологизации не сопровождается изменением знака произведения. Напомним также, что операторы - самосопряженные (чем выражается истинная нейтральность фотона); поэтому в (75,2) не делается различия между ).

В качестве первичного понятия для построения всех видов фотонных гриновских функций следует, однако, пользоваться не (75,2), а запаздывающей функцией Грина, определенной согласно

(знак минус между двумя членами в угловых скобках отвечает определению (36,9) для статистики Бозе).

Для замкнутой системы функция Грина зависит от моментов времени только через их разность . Что же касается координат , то в общем случае неоднородной среды они входят в функцию независимо друг от друга:

Соответственно фурье-разложению эта функция будет подвергаться только по времени; компонента этого разложения

Рассматривая величины, усредненные по физически бесконечно малым объемам, мы тем самым ограничиваем себя рассмотрением лишь длинноволновой части излучения, в которой волновые векторы фотонов удовлетворяют условию

(а — межатомные расстояния в среде). В этой области частот гриновская функция фотона может быть выражена через другие макроскопические характеристики среды - ее диэлектрическую и магнитную проницаемости .

Для этого запишем оператор взаимодействия электромагнитного поля со средой:

где - оператор плотности электрического тока, создаваемого частицами среды. Если же в среду внести некоторый классический «сторонний» ток , то с ним будет связан оператор взаимодействия

Это выражение позволяет установить связь с общей теорией отклика макроскопической системы на внешнее воздействие.

Напомним, что в этой теории (см. V § 125) фигурировал дискретный ряд величин , характеризующих поведение системы под действием определенных внешних воздействий. Эти воздействия описываются «возмущающими силами» такими, что оператор энергии взаимодействия имеет вид

где — операторы величин

Средние значения устанавливающиеся под действием возмущения, являются линейными функционалами сил Для фурье-компонент всех величин эта связь записывается в виде

(предполагается, что в отсутствие возмущения Коэффициенты в этих соотношениях называют обобщенными восприимчивостями системы. Если обе величины ведут себя одинаково по отношению к обращению времени, а тело не магнитоактивно (не обладает магнитной структурой и не находится в магнитном поле), то величины симметричны по своим индексам.

Здесь нам придется иметь дело с величинами , имеющими распределенный характер—функциями координат точки тела. В таком случае выражение V надо писать в виде

а соотношение между средними значениями и силами

Обобщенные - восприимчивости становятся теперь функциями координат двух точек в теле, а их симметрия выражается равенством

(75,10)

Согласно формуле Кубо (см. V (126,9)), восприимчивости выражаются через средние значения коммутаторов гейзенберговских операторов

Будем рассматривать теперь в качестве «сил» компоненты вектора тока j. Тогда из сравнения (75,7) с (75,8) видно, что отвечающими им величинами будут компоненты векторного потенциала поля . Сравнение же формулы (75,11) с определением (75,3-4) показывает теперь, что обобщенные восприимчивости совпадают с компонентами тензора

В силу (75,10) отсюда сразу следует (для немагнитоактивных сред), что

(75,12)

Соотношения же (75,9) принимают вид

(75,13)

Среднее значение А есть не что иное, как векторный потенциал макроскопического (полностью усредненного — см. начало параграфа) электромагнитного поля в среде; ниже черту над А (а также и над другими макроскопическими величинами) не будем писать. Учтем теперь, что макроскопическое поле, создаваемое классическим током j, удовлетворяет уравнению Максвелла

где D - электрическая индукция; в общем случае анизотропной среды связано с напряженностью соотношениями если среда неоднородна, то тензор диэлектрической проницаемости является также и функцией координат: .

В выбранной нами калибровке потенциалов (75,1) имеем

(75,14)

где В — магнитная индукция, связанная с напряженностью Н соотношениями Поэтому для потенциала имеем уравнение

Подставив сюда в виде (75,13), найдем, что функция должна удовлетворять уравнению

(75,15)

Это уравнение существенно упрощается для изотропных (в каждом своем элементе объема) сред, когда тензоры и сводятся к скалярам.

Магнитная проницаемость обычно близка к 1, и ниже в этом параграфе мы будем считать ее равной 1. Положив получим уравнение

(75,16)

Таким образом, вычисление запаздывающей функции Грина для неоднородной среды сводится к решению определенного дифференциального уравнения (И. Е. Дзялошинский, Л. П. Питаевский, 1959).

На границах между различными средами компоненты тензора должны удовлетворять определенным условиям. В уравнении (75,16) вторая переменная и второй индекс k не участвуют в дифференциальных или алгебраических операциях, производимых над тензором , т. е. играют лишь роль параметров. Поэтому граничные условия должны ставиться только по координатам для функции , рассматриваемой как вектор по индексу I. Эти условия соответствуют известным из макроскопической электродинамики требованиям непрерывности тангенциальных компонент Е и . Поскольку , то роль вектора Е играет при этом производная

или, в компонентах Фурье,

(75,17)

Аналогичным образом, роль вектора Н (совпадающего при с В) играет

(75,18)

Для пространственно-однородной неограниченной среды функция зависит только от разности .

Для компонент фурье-разложения по этой разности дифференциальное уравнение (75,16) сводится к системе алгебраических уравнений

(75,19)

Решение этих уравнений:

Согласно (36,21), функция Грина для однородной среды выражается через запаздывающую функцию формулой

(75,21)

При эта формула дает

(75,22)

Функция дается выражением (75,20); если учесть, что - четная, а - нечетная функция , то мы найдем, что при

(75,23)

В пустоте . Но поскольку во всякой материальной среде при , то вакууму отвечает предельный переход При этом получается выражение

совпадающее с известным результатом квантовой электродинамики (см. IV § 77).