Главная > Теоретическая физика. Т. IX. Теория конденсированного состояния
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 72. Спиновый гамильтониан

Для получения закона дисперсии магнонов во всем интервале изменения квазиимпульса (а не только в длинноволновом пределе) необходимо, разумеется, использовать более детальные представления о микроскопической структуре ферромагнетика.

Рассмотрим диэлектрик, состоящий из атомов с равным нулю орбитальным моментом, но отличным от нуля спином S. Если не интересоваться высоко возбужденными состояниями, связанными с возбуждением электронных оболочек атомов, можно усреднить гамильтониан системы по орбитальным переменным электронов атомов в основном состоянии (и при закрепленных в узлах решетки атомных ядрах). В результате мы получим спиновый гамильтониан системы, содержащий лишь операторы полных спинов атомов.

Если учитывать только обменное взаимодействие, зависящее лишь от относительных ориентаций спинов, то операторы векторов спинов атомов могут входить в гамильтониан лишь в виде скалярных комбинаций.

Существенный методический интерес представляет исследование системы, описываемой простейшим гамильтонианом такого рода:

где суммирование происходит по всем атомам; «векторные» (с целочисленными компонентами) индексы шип нумеруют узлы решетки; радиус-векторы. Числа называют обменными интегралами (ср. III § 62, задачи). При независимом суммировании по и каждая пара атомов встречается в сумме (72,1) дважды, причем, конечно,

В (72,1) все магнитные атомы в решетке предполагаются одинаковыми (по одному в каждой элементарной ячейке). Основное же предположение, лежащее в основе такого гамильтониана, состоит в достаточной взаимной удаленности атомов в решетке. Обменный интеграл определяется «перекрытием» волновых функций двух атомов и очень быстро (экспоненциально) убывает с увеличением расстояния между ними. Для системы взаимно удаленных атомов можно поэтому считать взаимодействие парным, в связи с чем в (72,1) отсутствуют члены с произведениями операторов спина более чем двух атомов. С этой же точностью можно считать, что обменное взаимодействие между двумя атомами осуществляется каждый раз всего одной парой электронов — по одному из каждого атома. Тогда оператор взаимодействия будет составлен билинейно по операторам спинов электронов, а после усреднения по состояниям атомов билинейно по атомным спинам

Система, описываемая гамильтонианом (72,1), ферромагнитна, если обменные интегралы Определим энергию основного состояния такой системы. Допустим при этом наличие также и внешнего магнитного поля §, добавив к (72,1) оператор

(ось z - в направлении поля). Оператор проекции полного спина системы коммутативен как с так и с V; состояния системы можно поэтому классифицировать по собственным значениям этой величины.

В ферромагнитном случае основному состоянию отвечает наибольшее возможное значение проекции суммарного спина, равное , где - число атомов в системе (это не связано, конечно, с наличием внешнего поля, которое лишь выделяет избранное направление оси). Пусть нормированная спиновая волновая функция основного состояния.

Максимальное значение проекции полного спина может достигаться, лишь если и проекция спина каждого атома имеет свое максимальное значение S. Поэтому есть в то же время и собственная функция каждого из операторов

Введем необходимые для дальнейшего операторы удовлетворяющие правилам коммутации

(см. III (26,12)). Их матричные элементы:

(см. III (27,12)); оператор увеличивает, a -уменьшает на единицу значение проекции Далее, пишем

и затем

где использована симметрия и коммутативность операторов, относящихся к разным атомам.

Поскольку операторы имеют матричные элементы лишь для переходов с увеличением чисел то для состояния с наибольшими значениями этих чисел

(что видно также и из явных выражений матричных элементов (72,5)). Поэтому при воздействии гамильтониана (72,6) на волновую функцию получается

Выражение в скобках и есть энергия основного состояния.

Заменив суммирование по суммированием по и по запишем окончательно в виде

Полный магнитный момент системы в этом состоянии есть

Следующее, в порядке уменьшения проекции полного спина, состояние системы отвечает значению указанной проекции; оно соответствует возбуждению одного магнона с магнитным моментом . Таким значением проекции полного спина обладает состояние с волновой функцией

в котором воздействием оператора уменьшена на 1 проекция спина одного из атомов. Эта функция, однако, не является собственной функцией гамильтониана системы; в ней не учтена еще трансляционная симметрия решетки. Собственная функция гамильтониана должна быть построена как линейная комбинация функций (72,9) со всем и номерами n. Те же рассуждения, которые привели нас в § 55 к функциям Блоха для электрона в периодическом поле, показывают, что для правильного учета трансляционной симметрии эта линейная комбинация должна иметь вид

(72,10)

(множитель — нормировочный). Постоянный вектор k есть не что иное, как квазиимпульс магнона.

Энергия магнона есть разность между энергиями возбужденного и основного состояний системы. Поэтому

Подставив в левую сторону этого равенства выражение (72,10) и заменив затем на , получим

(72,11)

Стоящий здесь коммутатор легко вычислить, записав в виде (72,6) и использовав правила коммутации (72,4).

Снова учтя симметрию коэффициентов найдем

(72,12)

Наконец, подставив это выражение в (72,11), вспомнив (72,3) и перейдя к суммированию по , получим

Выражение в фигурных скобках есть искомая энергия магнона. Мнимая часть выражения под знаком суммы, будучи нечетной функцией , обращается в нуль в результате суммирования, так что окончательно

(72,13)

Эта формула дает точный закон дисперсии магнонов в системе, описываемой гамильтонианом (72,1). В предельном случае малых к она переходит, естественно, в квадратичный закон:

(72,14)

Точка Кюри рассматриваемой системы лежит при температуре , так что при температурах система уже заведомо парамагнитна. При таких температурах можно, в первом приближении, вовсе пренебречь взаимодействием между атомами. В этом приближении магнитная восприимчивость системы будет совпадать с восприимчивостью идеального газа атомов со спином 5 и даваться формулой

(см. V § 52); восприимчивость отнесена к единице объема. Это выражение является первым членом разложения функции по степеням . Следующие члены разложения уже зависят от взаимодействия атомов; определим первый из них.

Восприимчивость (в нулевом поле) определяется как производная при , а намагниченность М вычисляется как производная от свободной энергии: . Для решения поставленной задачи надо вычислить F с точностью до членов .

Исходим из формулы , где Z - статистическая сумма

суммирование производится по всем уровням энергии системых).

Полное число уровней в спектре рассматриваемой системы конечно и равно числу всех возможных комбинаций ориентаций атомных спинов относительно решетки. Каждый спин имеет 2S + 1 различных ориентаций; поэтому указанное число есть . Обозначая чертой над буквой простое арифметическое усреднение, перепишем Z в виде

Среднее значение . По известному свойству следа оператора он может вычисляться по любой полной системе волновых функций; пусть это будут функции, отвечающие всем возможным наборам ориентаций атомных спинов. Тогда усреднение сводится к независимому усреднению каждого из спинов по его направлениям; при этом . Логарифмируя теперь Z и снова разлагая по степеням , с той же точностью получим

(72,16)

В этом выражении нас интересуют члены, содержащие ; только эти члены дадут вклад в восприимчивость. Опустив все остальные члены и заметив, что при усреднении нечетные степени компонент спина обращаются в нуль, получим

Средние значения

Таким образом,

и отсюда окончательно восприимчивость

(72,17)

Обратим внимание на то, что знак поправочного члена в квадратных скобках зависит от знака обменного интеграла.

Задачи

1. Найти магнитную часть теплоемкости системы, описывающейся гамильтонианом (72,1), при температурах

Решение. Первый член разложения теплоемкости по степеням возникает от члена в свободной энергии (72,16). Усредняя тем же способом квадрат гамильтониана (72,1), получим

(так как ) Для теплоемкости находим в результате

в соответствии с V (73,4).

2. Пренебрегая взаимодействием между спинами, вычислить намагниченность парамагнетика при произвольном соотношении между и Т.

Решение. Статистическая сумма (для одного спина в поле)

Вычисляя свободную энергию и дифференцируя ее по , находим намагниченность

(L. Brillouin, 1927), При это выражение переходит в (72,15). В обратном пределе, при , намагниченность стремится к своему номинальному значению по закону

1
Оглавление
email@scask.ru