Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399 400 401 402 403 404 405 406 407 408 409 410 411 412 413 414 415 416 417 418 419 420 421 422 423 424 425 426 427 428 429 430 431 432 433 434 435 436 437 438 439 440 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 72. Спиновый гамильтонианДля получения закона дисперсии магнонов во всем интервале изменения квазиимпульса (а не только в длинноволновом пределе) необходимо, разумеется, использовать более детальные представления о микроскопической структуре ферромагнетика. Рассмотрим диэлектрик, состоящий из атомов с равным нулю орбитальным моментом, но отличным от нуля спином S. Если не интересоваться высоко возбужденными состояниями, связанными с возбуждением электронных оболочек атомов, можно усреднить гамильтониан системы по орбитальным переменным электронов атомов в основном состоянии (и при закрепленных в узлах решетки атомных ядрах). В результате мы получим спиновый гамильтониан системы, содержащий лишь операторы полных спинов атомов. Если учитывать только обменное взаимодействие, зависящее лишь от относительных ориентаций спинов, то операторы векторов спинов атомов могут входить в гамильтониан лишь в виде скалярных комбинаций. Существенный методический интерес представляет исследование системы, описываемой простейшим гамильтонианом такого рода:
где суммирование происходит по всем атомам; «векторные» (с целочисленными компонентами) индексы шип нумеруют узлы решетки; В (72,1) все магнитные атомы в решетке предполагаются одинаковыми (по одному в каждой элементарной ячейке). Основное же предположение, лежащее в основе такого гамильтониана, состоит в достаточной взаимной удаленности атомов в решетке. Обменный интеграл определяется «перекрытием» волновых функций двух атомов и очень быстро (экспоненциально) убывает с увеличением расстояния между ними. Для системы взаимно удаленных атомов можно поэтому считать взаимодействие парным, в связи с чем в (72,1) отсутствуют члены с произведениями операторов спина более чем двух атомов. С этой же точностью можно считать, что обменное взаимодействие между двумя атомами осуществляется каждый раз всего одной парой электронов — по одному из каждого атома. Тогда оператор взаимодействия будет составлен билинейно по операторам спинов электронов, а после усреднения по состояниям атомов билинейно по атомным спинам Система, описываемая гамильтонианом (72,1), ферромагнитна, если обменные интегралы
(ось z - в направлении поля). Оператор В ферромагнитном случае основному состоянию отвечает наибольшее возможное значение проекции суммарного спина, равное Максимальное значение
Введем необходимые для дальнейшего операторы
(см. III (26,12)). Их матричные элементы:
(см. III (27,12)); оператор
и затем
где использована симметрия Поскольку операторы
(что видно также и из явных выражений матричных элементов (72,5)). Поэтому при воздействии гамильтониана (72,6) на волновую функцию
Выражение в скобках и есть энергия Заменив суммирование по
Полный магнитный момент системы в этом состоянии есть Следующее, в порядке уменьшения проекции полного спина, состояние системы отвечает значению
в котором воздействием оператора
(множитель Энергия
Подставив в левую сторону этого равенства выражение (72,10) и заменив затем
Стоящий здесь коммутатор легко вычислить, записав Снова учтя симметрию коэффициентов
Наконец, подставив это выражение в (72,11), вспомнив (72,3) и перейдя к суммированию по
Выражение в фигурных скобках есть искомая энергия магнона. Мнимая часть выражения под знаком суммы, будучи нечетной функцией
Эта формула дает точный закон дисперсии магнонов в системе, описываемой гамильтонианом (72,1). В предельном случае малых к она переходит, естественно, в квадратичный закон:
Точка Кюри рассматриваемой системы лежит при температуре
(см. V § 52); восприимчивость отнесена к единице объема. Это выражение является первым членом разложения функции Восприимчивость (в нулевом поле) определяется как производная Исходим из формулы
суммирование производится по всем уровням энергии системых). Полное число уровней в спектре рассматриваемой системы конечно и равно числу всех возможных комбинаций ориентаций атомных спинов относительно решетки. Каждый спин имеет 2S + 1 различных ориентаций; поэтому указанное число есть
Среднее значение
В этом выражении нас интересуют члены, содержащие
Таким образом,
и отсюда окончательно восприимчивость
Обратим внимание на то, что знак поправочного члена в квадратных скобках зависит от знака обменного интеграла. Задачи1. Найти магнитную часть теплоемкости системы, описывающейся гамильтонианом (72,1), при температурах Решение. Первый член разложения теплоемкости по степеням
(так как
в соответствии с V (73,4). 2. Пренебрегая взаимодействием между спинами, вычислить намагниченность парамагнетика при произвольном соотношении между Решение. Статистическая сумма (для одного спина в поле)
Вычисляя свободную энергию и дифференцируя ее по
(L. Brillouin, 1927), При это выражение переходит в (72,15). В обратном пределе, при
|
1 |
Оглавление
|