§ 9. Функция Грина идеального ферми-газа

Для иллюстрации рассмотренных в предыдущем параграфе общих соотношений вычислим функцию Грина идеального газа.

Шредингеровские -операторы всегда можно представить в виде разложения

по полному набору функций — волновых функций свободной частицы с импульсом (и энергией ), т. е. по плоским волнам

(ма—спиновая амплитуда, нормированная условием ); такой выбор функций фра не имеет отношения к реальному взаимодействию частиц в системе.

Но для системы невзаимодействующих частиц может быть записан в явном виде также и гейзенберговский -оператор. В этом случае переход от шредингеровского к гейзенберговскому представлению сводится к введению в каждый член суммы в (9,1) соответствующего временного множителя

В этом легко убедиться, заметив, что матричные элементы гейзенберговского оператора для всякого перехода должны содержать множители где - энергии начального и конечного состояний (в данном случае это собственные значения гамильтониана ).

Для перехода с уменьшением числа частиц в состоянии на 1 разность так что указанное требование выполнено.

Однако, вместо прямого вычисления функции Грина с помощью (9,3) по определению (7,10), удобнее свести сначала это определение к эквивалентному ему дифференциальному уравнению. Для этого продифференцируем функцию по При этом надо учесть, что в точке эта функция разрывна. Действительно, согласно определению (7,10), скачок функции

или в силу (7,3)

Наличие скачка приводит при дифференцировании к появлению члена . Поэтому

Для системы свободных частиц гейзенберговский оператор удовлетворяет уравнению

(ср. 7,8)). Подставив эту производную в (9,5) и снова воспользовавшись определением (7,10), получим уравнение для функции Грина

где уже положено , а индекс (0) у G указывает отсутствие взаимодействия между частицами.

Преобразуем это уравнение по Фурье:

Определяя отсюда гриновскую функцию, надо добавить к бесконечно малую мнимую часть таким образом, чтобы мнимая часть G имела правильный знак (в соответствии с (8,14)):

Полюс этого выражения лежит при со в соответствии с тем, что в идеальном газе квазичастицы совпадают с реальными частицами. Химический потенциал идеального ферми-газа Для слабо возбужденных состояний близко к так что можно заменить и для таких состояний переписать функцию Грина в виде

При всяких интегрированиях с участием функции наличие бесконечно малой мнимой части в ее знаменателе существенно только вблизи полюса, когда . В этом смысле в (9,7) можно заменить на и написать в виде

Такая замена существенна в том отношении, что в виде (9,9) оказывается единой аналитической во всей плоскости функцией комплексной переменной и для вычисления интегралов можно пользоваться методами теории аналитических функций.

Так, для вычисления интеграла (7,23) (распределение частиц по импульсам) при отличном от нуля отрицательном t замыкаем путь интегрирования (вещественная ось ) бесконечно удаленной полуокружностью в верхней полуплоскости (после этого можно положить Интеграл

определяется теперь вычетом подынтегрального выражения в полюсе, находящемся в верхней полуплоскости. При такой полюс отсутствует, так что Если же то находим — как и должно было быть для основного состояния идеального ферми-газа.