§ 59. Тензор эффективных масс электрона в решетке

Рассмотрим точку в -пространстве, в которой энергия электрона имеет экстремум; таковы, в частности, точки, отвечающие верху и низу зоны.

Если в этой точке нет вырождения (за исключением лишь возможного крамерсовского вырождения по спину — см. конец § 55), то в ее окрестности функция может быть подвергнута регулярному разложению по степеням разности Первые члены такого разложения квадратичны:

Тензор обратный тензору коэффициентов в (59,1), называют тензором эффективных масс электрона в решетке. Покажем, каким образом можно выразить этот тензор через матричные элементы по отношению к блоховским функциям в точке .

В пренебрежении спин-орбитальным взаимодействием гамильтониан электрона имеет вид (56,1). Подставим в уравнение Шредингера с этим гамильтонианом волновую функцию в виде

Тогда уравнение примет вид

где — оператор истинного импульса.

В окрестности точки вектор q является малой величиной, и выражение в квадратной скобке в (59,3) можно рассматривать как оператор возмущения. В нулевом приближении, при функции совпадают с функциями Поэтому обычная теория возмущений позволяет выразить поправку к энергии через матричные элементы по отношению к этим функциям.

Так как -точка экстремума, то линейная по q поправка отсутствует. Это значит, что диагональные матричные элементы

Для определения квадратичной по q поправки надо учесть член с q в операторе возмущения в первом, а член с q — во втором порядке теории возмущений. В результате получим для формулу (59,1), где

суммирование производится по всем

Для упрощения записи в обозначении матричных элементов здесь и ниже опускаем диагональный индекс Отметим, что при наличии близко расположённых зон (т. е. малых разностей ) второй член в (59,5) может оказаться большим по сравнению с первым, в результате чего эффективные массы будут малы по сравнению с т.

Пусть теперь на кристалл наложено однородное магнитное поле Н. Тогда, согласно (56,7), гамильтониан, действующий на функции обобщенного квазиимпульса Q, получается из (59,1) заменой q на оператор

Получающийся таким образом гамильтониан

пригоден, разумеется, лишь в той же области энергий, что и исходная формула (59,1). Это значит, что (помимо условия слабости поля (56,3)) предполагается, что рассматриваемые уровни Ландау расположены не слишком высоко. В этом смысле величины q и Q должны рассматриваться как малые (возрастающий же характер потенциала А проявляется в том, что даже в слабом поле нельзя считать, что А мало по сравнению с ).

Следующие после (59,7) члены в гамильтониане содержат поле Н в «чистом» (т. е. без сопровождающих операторов ) виде. Такие члены уже нельзя найти из одних лишь соображений калибровочной инвариантности. Определим первый из этих членов, линейный по Н. При этом можно в силу относительной малости этой поправки при ее вычислении положить

Рассмотрим сначала поставленный вопрос без учета спин-орбитального взаимодействия. Интересующий нас линейный по Н член может возникнуть только из линейного по А члена в исходном точном гамильтониане электрона (56,2), т. е. путем усреднения по волновой функции выражения

(равенство связано с выбранной уже калибровкой с Это приводит к добавлению к гамильтониану (59,7) члена

где

(59,10)

есть просто среднее значение магнитного момента электрона в состоянии

Подчеркнем, что поправку (59,9) можно добавить к гамильтониану (59,7), не опасаясь, что этот эффект уже частично учтен заменой (59,6); действительно, линейные по Н члены в (59,7) при вообще отсутствуют.

Распишем выражение (59,10) по правилу матричного умножения, учтя, что в силу (59,4) не имеет диагональных матричных элементов

(и аналогично для ); как и должно было быть, поправка к гамильтониану (59,7) выражается через матричные элементы оператора . С помощью соотношения

можно переписать М в виде

Отметим, что М, а тем самым и вся поправка (59,9) обращается в нуль, если кристалл обладает центром инверсии. Действительно, при одновременном обращении времени и инверсии состояние электрона (без учета его спина) не изменяется, а потому не изменится и правая сторона равенства (59,11); между тем магнитный момент при этом преобразовании должен изменить знак.

Учтем теперь спин-орбитальное взаимодействие в кристалле, добавив к гамильтониану (56,1) спин-орбитальный член из (55,17). Это приведет к изменению линейного по q члена в уравнении (59,3): оператор в этом члене заменится на

(59,12)

Оператор я имеет простой физический смысл: непосредственно коммутируя гамильтониан (с учетом ) с , найдем, что (в отсутствие магнитного поля)

(59,13)

Аналогично, произведя при наличии магнитного поля обычную замену в исходном гамильтониане (в том числе в ), мы найдем, что и линейный по А член имеет вид отличающийся от (59,8) той же заменой на .

К магнитному же моменту (59,11) надо прибавить еще и спиновый магнитный момент свободного электрона, так что будет

(59,14)

С учетом спин-орбитального взаимодействия второй член в этом выражении отнюдь не равен нулю даже кристалле с центром инверсии. Действительно, одновременное изменение знака времени и инверсия приводят к состоянию, отличающемуся направлением спина, так что все выражение (59,14), чтобы изменить знак при этом преобразовании, должно лишь сводиться к среднему от оператора

Вычислим тензор в случае, когда спин-орбитальное взаимодействие может рассматриваться как возмущение. Перепишем (55,17) в виде

(59,15)

Рассматривая (59,9) и (59,15) как возмущение, найдем поправку к энергии во втором порядке теории возмущений, оставив при этом только перекрестные (по (59,9) и (59,15)) члены. Эта поправка (все еще остающаяся оператором—матрицей — по спиновым переменным) имеет вид (56,12) с тензором равным

(59,16)

где .

Все сказанное относилось к невырожденным (кроме как по спину) состояниям. Если же при имеется вырождение, то для определения энергии надо составить секулярное уравнение, учитывающее возмущение (квадратные скобки в уравнении (59,3)) вплоть до членов второго порядка (т. е. по формуле III (39,4)). Свойства получающегося таким образом секулярного уравнения зависят от симметрии в точке Мы вернемся еще к этому вопросу в § 68.

Задача

Найти квазиклассические уровни энергии для частицы с квадратичным законом дисперсии (59,1) в магнитном поле произвольного направления.

Решение. Приведем тензор к диагональному виду и будем отсчитывать энергию и импульс от точки экстремума (для определенности минимума).

Тогда

где - главные значения тензора (положительные величины). Обозначив через единичный вектор в направлении поля Н, имеем

(2)

-направляющие косинусы поля относительно главных осей тензора Нам надо найти площадь S той части плоскости (2), которая лежит внутри эллипсоида (1); она может быть представлена в виде интеграла

взятого по объему эллипсоида (I). Заменой переменных интеграл приводится к виду

где вектор v в q-пространстве имеет компоненты а интегрирование производится по объему сферы Интегрирование легко выполняется в цилиндрических координатах с осью вдоль v и дает

где

Подставив в (58,7), найдем уровни энергии