Главная > Теоретическая физика. Т. IX. Теория конденсированного состояния
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 59. Тензор эффективных масс электрона в решетке

Рассмотрим точку в -пространстве, в которой энергия электрона имеет экстремум; таковы, в частности, точки, отвечающие верху и низу зоны.

Если в этой точке нет вырождения (за исключением лишь возможного крамерсовского вырождения по спину — см. конец § 55), то в ее окрестности функция может быть подвергнута регулярному разложению по степеням разности Первые члены такого разложения квадратичны:

Тензор обратный тензору коэффициентов в (59,1), называют тензором эффективных масс электрона в решетке. Покажем, каким образом можно выразить этот тензор через матричные элементы по отношению к блоховским функциям в точке .

В пренебрежении спин-орбитальным взаимодействием гамильтониан электрона имеет вид (56,1). Подставим в уравнение Шредингера с этим гамильтонианом волновую функцию в виде

Тогда уравнение примет вид

где — оператор истинного импульса.

В окрестности точки вектор q является малой величиной, и выражение в квадратной скобке в (59,3) можно рассматривать как оператор возмущения. В нулевом приближении, при функции совпадают с функциями Поэтому обычная теория возмущений позволяет выразить поправку к энергии через матричные элементы по отношению к этим функциям.

Так как -точка экстремума, то линейная по q поправка отсутствует. Это значит, что диагональные матричные элементы

Для определения квадратичной по q поправки надо учесть член с q в операторе возмущения в первом, а член с q — во втором порядке теории возмущений. В результате получим для формулу (59,1), где

суммирование производится по всем

Для упрощения записи в обозначении матричных элементов здесь и ниже опускаем диагональный индекс Отметим, что при наличии близко расположённых зон (т. е. малых разностей ) второй член в (59,5) может оказаться большим по сравнению с первым, в результате чего эффективные массы будут малы по сравнению с т.

Пусть теперь на кристалл наложено однородное магнитное поле Н. Тогда, согласно (56,7), гамильтониан, действующий на функции обобщенного квазиимпульса Q, получается из (59,1) заменой q на оператор

Получающийся таким образом гамильтониан

пригоден, разумеется, лишь в той же области энергий, что и исходная формула (59,1). Это значит, что (помимо условия слабости поля (56,3)) предполагается, что рассматриваемые уровни Ландау расположены не слишком высоко. В этом смысле величины q и Q должны рассматриваться как малые (возрастающий же характер потенциала А проявляется в том, что даже в слабом поле нельзя считать, что А мало по сравнению с ).

Следующие после (59,7) члены в гамильтониане содержат поле Н в «чистом» (т. е. без сопровождающих операторов ) виде. Такие члены уже нельзя найти из одних лишь соображений калибровочной инвариантности. Определим первый из этих членов, линейный по Н. При этом можно в силу относительной малости этой поправки при ее вычислении положить

Рассмотрим сначала поставленный вопрос без учета спин-орбитального взаимодействия. Интересующий нас линейный по Н член может возникнуть только из линейного по А члена в исходном точном гамильтониане электрона (56,2), т. е. путем усреднения по волновой функции выражения

(равенство связано с выбранной уже калибровкой с Это приводит к добавлению к гамильтониану (59,7) члена

где

(59,10)

есть просто среднее значение магнитного момента электрона в состоянии

Подчеркнем, что поправку (59,9) можно добавить к гамильтониану (59,7), не опасаясь, что этот эффект уже частично учтен заменой (59,6); действительно, линейные по Н члены в (59,7) при вообще отсутствуют.

Распишем выражение (59,10) по правилу матричного умножения, учтя, что в силу (59,4) не имеет диагональных матричных элементов

(и аналогично для ); как и должно было быть, поправка к гамильтониану (59,7) выражается через матричные элементы оператора . С помощью соотношения

можно переписать М в виде

Отметим, что М, а тем самым и вся поправка (59,9) обращается в нуль, если кристалл обладает центром инверсии. Действительно, при одновременном обращении времени и инверсии состояние электрона (без учета его спина) не изменяется, а потому не изменится и правая сторона равенства (59,11); между тем магнитный момент при этом преобразовании должен изменить знак.

Учтем теперь спин-орбитальное взаимодействие в кристалле, добавив к гамильтониану (56,1) спин-орбитальный член из (55,17). Это приведет к изменению линейного по q члена в уравнении (59,3): оператор в этом члене заменится на

(59,12)

Оператор я имеет простой физический смысл: непосредственно коммутируя гамильтониан (с учетом ) с , найдем, что (в отсутствие магнитного поля)

(59,13)

Аналогично, произведя при наличии магнитного поля обычную замену в исходном гамильтониане (в том числе в ), мы найдем, что и линейный по А член имеет вид отличающийся от (59,8) той же заменой на .

К магнитному же моменту (59,11) надо прибавить еще и спиновый магнитный момент свободного электрона, так что будет

(59,14)

С учетом спин-орбитального взаимодействия второй член в этом выражении отнюдь не равен нулю даже кристалле с центром инверсии. Действительно, одновременное изменение знака времени и инверсия приводят к состоянию, отличающемуся направлением спина, так что все выражение (59,14), чтобы изменить знак при этом преобразовании, должно лишь сводиться к среднему от оператора

Вычислим тензор в случае, когда спин-орбитальное взаимодействие может рассматриваться как возмущение. Перепишем (55,17) в виде

(59,15)

Рассматривая (59,9) и (59,15) как возмущение, найдем поправку к энергии во втором порядке теории возмущений, оставив при этом только перекрестные (по (59,9) и (59,15)) члены. Эта поправка (все еще остающаяся оператором—матрицей — по спиновым переменным) имеет вид (56,12) с тензором равным

(59,16)

где .

Все сказанное относилось к невырожденным (кроме как по спину) состояниям. Если же при имеется вырождение, то для определения энергии надо составить секулярное уравнение, учитывающее возмущение (квадратные скобки в уравнении (59,3)) вплоть до членов второго порядка (т. е. по формуле III (39,4)). Свойства получающегося таким образом секулярного уравнения зависят от симметрии в точке Мы вернемся еще к этому вопросу в § 68.

Задача

Найти квазиклассические уровни энергии для частицы с квадратичным законом дисперсии (59,1) в магнитном поле произвольного направления.

Решение. Приведем тензор к диагональному виду и будем отсчитывать энергию и импульс от точки экстремума (для определенности минимума).

Тогда

где - главные значения тензора (положительные величины). Обозначив через единичный вектор в направлении поля Н, имеем

(2)

-направляющие косинусы поля относительно главных осей тензора Нам надо найти площадь S той части плоскости (2), которая лежит внутри эллипсоида (1); она может быть представлена в виде интеграла

взятого по объему эллипсоида (I). Заменой переменных интеграл приводится к виду

где вектор v в q-пространстве имеет компоненты а интегрирование производится по объему сферы Интегрирование легко выполняется в цилиндрических координатах с осью вдоль v и дает

где

Подставив в (58,7), найдем уровни энергии

1
Оглавление
email@scask.ru